Существует ли объективная асимметрия между коллапсированной и неколлапсированной волновой функцией?

То, что вы говорите, правильно. Действительно, вектор конечного состояния несет гораздо меньше информации по сравнению с вектором исходного состояния. Волновая функция$|\psi(t)\rangle$по определению содержит всю информацию, которую может предложить система. Представлять себе$|\psi(t)\rangle$быть вектором в n-мерном гильбертовом пространстве. Любой вектор можно разложить на линейную композицию базисных векторов. Скажем так:

$$\begin{equation} |\psi(t)\rangle=\sum_i^{\infty}c_n|\phi_n(t)\rangle \end{equation}$$ Где $|\phi_n(t)\rangle$являются базисными векторами. Что делает любое измерение, так это то, что оно берет проекцию вектора состояния вдоль определенного базисного вектора (скажем, вдоль $|\phi_k(t)\rangle$). Тогда что у нас есть; $$\begin{equation} \langle\phi_k(t)|\psi(t)\rangle=\sum_i^{\infty}c_n\langle \phi_k(t)|\phi_n(t)\rangle=c_k \end{equation}$$ Приведенное выше уравнение работает из-за ортонормированности базисных векторов. К чему сейчас сводится вектор состояния $|\phi_k(t)\rangle$а значение измерения представляет собой коэффициент масштабирования вдоль этого базисного вектора, который $c_k$. Это изменение вектора состояния системы от $|\psi(t)\rangle$к $|\phi_k(t)\rangle$в основном известен как коллапс волновой функции. Что у вас осталось после измерения $|\phi_k(t)\rangle$и нет никакой операции, которая могла бы вернуть его обратно в $|\psi(t)\rangle$так как мы не знаем всех $c_n$.

Следует отметить, что если у вас есть несколько одинаковых векторов состояния, то вы можете выполнять измерения по всем возможным базисам для восстановления начального состояния. Этот процесс известен как государственная томография.

Что меня озадачивает, так это то, что любая волновая функция может быть представлена ​​вектором в гильбертовом пространстве, и я не понимаю, как можно сказать, что вектор несет больше информации, чем другой.

Если мы моделируем коллапс стохастически, то фильтрация выборочного пространства, определяющая степень информации, доступной в данный момент времени$t$:

фильтрацию можно интерпретировать как всю доступную историческую информацию о стохастическом процессе, при этом алгебраический объект ... становится все сложнее. Случайный процесс, адаптированный к фильтрации, называется неупреждающим, т. е. таким, который не может заглянуть в будущее.

Однако я не видел, чтобы эта математическая технология применялась в QM...

Вот ответ экспериментатора:

Вот эксперимент с двумя щелями, по одному электрону за раз .

Каждое случайно выглядящее пятно на кадре а) — это след электрона в плоскости (x, y) детектора. Этот электрон до того, как он попал на экран, описывался волновой функцией и граничными условиями, отражающими конкретную экспериментальную установку: приход со стороны луча, рассеяние на двух щелях с определенными расстояниями и шириной. Эти граничные условия дают конкретную волновую функцию для отдельного электрона, квадрат модуля которого дает распределение вероятности обнаружения электрона в определенном (x, y).

Чтобы экспериментально получить это распределение, вводится третье граничное условие: экран в точке z и атомы/молекулы, с которыми сталкивается электрон, чтобы его было видно. Это другая волновая функция. Как только электрон попадает на экран и обнаруживается как точка, исходная волновая функция больше не выполняется, т. е. она коллапсирует, потому что был выбран экземпляр предсказанного ею распределения вероятностей.

Это то же самое, что бросать кости. Как только кости выпали, нет смысла говорить о других вероятных значениях, которые тоже могли выпасть. Нужно бросать кости много раз, чтобы получить распределение вероятностей, которое, как вы должны знать, плоское. Бросание множества электронов на экран показывает распределение вероятности нахождения электрона в точках (x, y, z) и lo, оно показывает интерференционную картину, присущую волновой функции, описывающей конкретную систему.

Что меня озадачивает, так это то, что любую волновую функцию можно представить в виде вектора в гильбертовом пространстве.

Проще думать в терминах решений волновой функции уравнений Шредингера или Дирака. Размышляя о гильбертовых пространствах, вы игнорируете граничные условия , отличающие одну экспериментальную установку от другой.

и я не понимаю, как можно сказать, что вектор несет больше «информации», чем другой. Это просто векторы.

Граничные условия подбирают подмножество гильбертова векторного пространства.

С другой стороны, кажется очевидным, что у конечного наблюдателя больше информации, чем у исходного, так как у него на одну запись измерений больше.

Обратите внимание, что не может быть начального и конечного наблюдателей без введения взаимодействий, т.е. изменения граничных условий: наблюдение означает взаимодействие. Каждый электрон является частью пучка и однозначно наблюдается на экране, где он взаимодействует, и его волновая функция дает одно из значений в соответствии с описывающим его распределением вероятностей, это называется коллапсом. На экране электрон теряет свою энергию, взаимодействуя и образуя видимую точку, и с этого момента его будут описывать совершенно другие волновая функция и граничные условия.