Помощь в понимании концепции в первой теореме Нётер.

Прежде всего, я считаю, что статья по вашей ссылке полна несоответствий в обозначениях и поэтому вызывает большую путаницу у тех, кто изо всех сил пытается понять теорему Нётер. Итак, позвольте мне сформулировать теоретико-полевой вариант теоремы Нётер в более, на мой вкус, очаровательной форме.

Предварительные сведения 1: группы Ли и алгебры Ли

Каждый элемент$N$-мерная группа лжи$G$параметризуется точкой подпространства${{\mathbf{R}}^{N}}$. Другими словами, элемент$g\in G$можно рассматривать как карту:$g:{{\mathbf{R}}^{N}}\backepsilon \omega \mapsto {{g}_{\omega }}\in G$. Без ограничения общности можно считать, что${{g}_{0}}=e$, тождественный элемент$G$. Теперь предположим, что у нас есть$n$-мерное вещественное векторное поле:

$\varphi :\Omega \backepsilon x\mapsto \varphi \left( x \right)\in {{\mathbf{R}}^{n}}$

где$\Omega \subseteq {{\mathbf{R}}^{\left( 1,3 \right)}}$, с$n$реальные компоненты${{\varphi }_{i}}\ ,\ i=1,..,n$, такое, что подчиняется граничному условию${{\left. \varphi \right|}_{\partial \Omega }}=0$. Также предположим, что элемент группы${{g}_{\omega }}$реализуется как$n$-мерное представление$G$. Теперь мы можем рассмотреть линейное преобразование:

${{g}_{\omega }}:\varphi \to {{g}_{\omega }}\varphi \quad ,\quad {{\left( {{g}_{\omega }}\varphi \right)}_{i}}:=\sum\limits_{j=1}^{n}{{{\left( {{g}_{\omega }} \right)}_{ij}}{{\varphi }_{j}}}$

Если$\varepsilon \in {{\mathbf{R}}^{N}}$точка, бесконечно близкая к$0$затем${{g}_{\varepsilon }}$будет групповым элементом, который «бесконечно мало близок» к тождественному$e$, в смысле:

${{g}_{\varepsilon }}\varphi ={{g}_{0}}\varphi +\sum\limits_{I=1}^{N}{{{\varepsilon }_{I}}{{\left[ \tfrac{\partial }{\partial {{\omega }_{I}}}{{g}_{\omega }}\varphi \right]}_{\omega =0}}}+\mathcal{O}\left( {{\varepsilon }^{2}} \right)=\varphi +\sum\limits_{I=1}^{N}{{{\varepsilon }_{I}}{{T}_{I}}\varphi }+\mathcal{O}\left( {{\varepsilon }^{2}} \right)$

где${{T}_{I}}\varphi :={{\left[ \tfrac{\partial }{\partial {{\omega }_{I}}}{{g}_{\omega }}\varphi \right]}_{\omega =0}}$. Векторы${{T}_{I}}$составляют основу$n$-мерное представление алгебры Ли$\mathrm{}$из$G$и они преобразуют поле как:

${{T}_{I}}:\varphi \to {{T}_{I}}\varphi \quad ,\quad {{\left( {{T}_{I}}\varphi \right)}_{i}}=\sum\limits_{j=1}^{n}{{{\left( {{T}_{I}} \right)}_{ij}}{{\varphi }_{j}}}$

Предварительные сведения 2: лагранжева формулировка и принцип Гамильтона

Динамика поля$\varphi \left( x \right)$можно закодировать в функции «плотность Лагранжа»$\mathsf{L}\left( \varphi ,{{\partial }_{\mu }}\varphi \right)$, которая является такой функцией, что «уравнения Эйлера-Лагранжа»:

$\frac{\partial \mathsf{L}}{\partial {{\varphi }_{i}}}-{{\partial }_{\mu }}\left( \frac{\partial \mathsf{L}}{\partial {{\varphi }_{i,\mu }}} \right)=0\quad ,\quad i=1,...,n$

эквивалентны уравнениям движения компонент поля. Имея в своем распоряжении$\mathsf{L}\left( \varphi ,{{\partial }_{\mu }}\varphi \right)$мы можем переформулировать уравнения движения как вариационный принцип, «принцип наименьшего действия» («принцип Гамильтона») следующим образом:

i) Определить «функционал действия» как:

$S\left[ \varphi \right]:=\int\limits_{\Omega }{\mathsf{L}\left( \varphi ,{{\partial }_{\mu }}\varphi \right){{d}^{4}}x}$

ii) Функциональная производная от$S\left[ \varphi \right]$по компоненте поля${{\varphi }_{i}}$является выражением Лагранжа, т.е.:

$\frac{\delta S}{\delta {{\varphi }_{i}}}=\frac{\partial \mathsf{L}}{\partial {{\varphi }_{i}}}-{{\partial }_{\mu }}\left( \frac{\partial \mathsf{L}}{\partial {{\varphi }_{i,\mu }}} \right)$

где для вывода этого результата граничное условие${{\left. \varphi \right|}_{\partial \Omega }}=0$был принят во внимание.

iii) Из вышеизложенного мы выводим, что если поле является стационарной точкой$S\left[ \varphi \right]$, т.е. если:

$\frac{\delta S}{\delta {{\varphi }_{i}}}=0\quad ,\quad i=1,...,n$

тогда выполняются уравнения Эйлера-Лагранжа и наоборот. В заключение, уравнения движения поля могут быть получены с помощью вариационного принципа, «принципа наименьшего действия». Это «принцип Гамильтона».

Определение группы симметрии

Группа «Ложь»$G$является «группой симметрии» для теории поля$\varphi$если функционал действия$S\left[ \varphi \right]$инвариантен (в более общем случае, если он отличается на граничный член${{S}_{\partial \Omega }}$) под действием любого${{g}_{\omega }}\in G$, т.е. если:$S\left[ {{g}_{\omega }}\varphi \right]=S\left[ \varphi \right]$Для простоты ограничимся случаем, когда плотность лагранжиана инвариантна:

$\mathsf{L}\left( {{g}_{\omega }}\varphi ,{{\partial }_{\mu }}\left( {{g}_{\omega }}\varphi \right) \right)=\mathsf{L}\left( \varphi ,{{\partial }_{\mu }}\varphi \right)$

что является достаточным условием инвариантности действия. Разберем случай, когда${{g}_{\omega }}$является бесконечно малым преобразованием. Тогда компоненты поля будут меняться как:

${{\delta }_{\varepsilon }}\varphi :={{g}_{\varepsilon }}\varphi -\varphi =\sum\limits_{I=1}^{N}{{{\varepsilon }_{I}}{{T}_{I}}\varphi }$

и их пространственные производные как:

${{\delta }_{\varepsilon }}{{\varphi }_{,\mu }}:={{\partial }_{\mu }}\left( {{g}_{\varepsilon }}\varphi \right)-{{\partial }_{\mu }}\varphi ={{\partial }_{\mu }}\left( \varphi +\sum\limits_{I=1}^{N}{{{\varepsilon }_{I}}{{T}_{I}}\varphi } \right)-{{\partial }_{\mu }}\varphi ={{\partial }_{\mu }}\left( {{\delta }_{\varepsilon }}\varphi \right)$

Тогда лагранжиан будет меняться как:

$\begin{align} & {{\delta }_{\varepsilon }}\mathsf{L}:=\mathsf{L}\left( {{g}_{\varepsilon }}\varphi ,{{\partial }_{\mu }}\left( {{g}_{\varepsilon }}\varphi \right) \right)-\mathsf{L}\left( \varphi ,{{\partial }_{\mu }}\varphi \right)=\sum\limits_{i=1}^{n}{\left[ \frac{\partial \mathsf{L}}{\partial {{\varphi }_{i}}}{{\delta }_{\varepsilon }}{{\varphi }_{i}}+\frac{\partial \mathsf{L}}{\partial {{\varphi }_{i,\mu }}}{{\delta }_{\varepsilon }}{{\varphi }_{i,\mu }} \right]} \\ & \quad \quad =\sum\limits_{i=1}^{n}{\left[ \frac{\partial \mathsf{L}}{\partial {{\varphi }_{i}}}\sum\limits_{I=1}^{N}{{{\varepsilon }_{I}}{{\left( {{T}_{I}}\varphi \right)}_{i}}}+\frac{\partial \mathsf{L}}{\partial {{\varphi }_{i,\mu }}}\sum\limits_{I=1}^{N}{{{\varepsilon }_{I}}{{\partial }_{\mu }}{{\left( {{T}_{I}}\varphi \right)}_{i}}} \right]} \\ & \quad \quad =\sum\limits_{I=1}^{N}{{{\varepsilon }_{I}}\sum\limits_{i=1}^{n}{\left[ \frac{\partial \mathsf{L}}{\partial {{\varphi }_{i}}}{{\left( {{T}_{I}}\varphi \right)}_{i}}+\frac{\partial \mathsf{L}}{\partial {{\varphi }_{i,\mu }}}{{\partial }_{\mu }}{{\left( {{T}_{I}}\varphi \right)}_{i}} \right]}} \\ & \quad \quad =\sum\limits_{I=1}^{N}{{{\varepsilon }_{I}}\sum\limits_{i=1}^{n}{\left[ \frac{\partial \mathsf{L}}{\partial {{\varphi }_{i}}}{{\left( {{T}_{I}}\varphi \right)}_{i}}+{{\partial }_{\mu }}\left[ \frac{\partial \mathsf{L}}{\partial {{\varphi }_{i,\mu }}}{{\left( {{T}_{I}}\varphi \right)}_{i}} \right]-{{\partial }_{\mu }}\frac{\partial \mathsf{L}}{\partial {{\varphi }_{i,\mu }}}{{\left( {{T}_{I}}\varphi \right)}_{i}} \right]}} \\ & \quad \quad =\sum\limits_{I=1}^{N}{{{\varepsilon }_{I}}\left( \sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{\delta S}{\delta {{\varphi }_{i}}}{{\left( {{T}_{I}}\varphi \right)}_{i}}+{{\partial }_{\mu }}J_{I}^{\mu }} \right)} \\ \end{align}$

где:

$J_{I}^{\mu }:=\sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{\partial \mathsf{L}}{\partial {{\varphi }_{i,\mu }}}{{\left( {{T}_{I}}\varphi \right)}_{i}}}=\sum\limits_{i,j=1}^{n}{\frac{\partial \mathsf{L}}{\partial {{\varphi }_{i,\mu }}}{{\left( {{T}_{I}} \right)}_{ij}}{{\varphi }_{j}}}$

Итак, инвариантность лагранжевой плотности выражается как:

${{\delta }_{\varepsilon }}\mathsf{L}=0\Rightarrow \sum\limits_{I=1}^{N}{{{\varepsilon }_{I}}\left( \sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{\delta S}{\delta {{\varphi }_{i}}}{{\left( {{T}_{I}}\varphi \right)}_{i}}+{{\partial }_{\mu }}J_{I}^{\mu }} \right)=0}$

и с тех пор${{\varepsilon }_{I}}$считаются независимыми параметрами, то приведенное выше выражение выполняется тогда и только тогда:

$\sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{\delta S}{\delta {{\varphi }_{i}}}{{\left( {{T}_{I}}\varphi \right)}_{i}}}+{{\partial }_{\mu }}J_{I}^{\mu }=0\quad ,\quad I=1,..,N$

Это первая теорема Нётер! Теперь заметим, что если поля таковы, что они подчиняются уравнениям движения (находятся «на поверхности» на физическом жаргоне), т. е. если$\tfrac{\delta S}{\delta {{\varphi }_{i}}}=0$затем:

${{\partial }_{\mu }}J_{I}^{\mu }=0\quad ,\quad I=1,..,N$

то есть токи$J_{I}^{\mu }$локально сохраняются. В этом суть теоремы Нётер: она утверждает, что для любой симметрии физической теории существует соответствующий сохраняющийся ток; на мой взгляд, это одна из самых красивых теорем в физике. Приведенный выше закон сохранения в ковариантной форме можно переформулировать как:

${{\partial }_{\mu }}J_{I}^{\mu }=0\Rightarrow {{\partial }_{t}}J_{I}^{0}=-\nabla \cdot {{\mathbf{J}}_{I}}\Rightarrow {{\partial }_{t}}\int\limits_{{{\Omega }_{t}}}{J_{I}^{0}{{d}^{3}}x}=-\int\limits_{{{\Omega }_{t}}}{\left( \nabla \cdot {{\mathbf{J}}_{I}} \right){{d}^{3}}x}$

где${{\Omega }_{t}}$представляет собой изовременную подповерхность$\Omega$. Используя теорему Гаусса о расходимости, мы получаем:

${{\partial }_{t}}{{Q}_{I}}=-\int\limits_{\Sigma \equiv \partial {{\Omega }_{t}}}{{{\mathbf{J}}_{I}}\cdot d\,\mathbf{\Sigma }}$

где:

${{Q}_{I}}:=\int\limits_{{{\Omega }_{t}}}{J_{I}^{0}{{d}^{3}}x}$

Предполагая «граничное условие Дирихле»:

${{\left. {{\mathbf{J}}_{I}} \right|}_{\partial {{\Omega }_{t}}}}=0$

или «граничное условие Неймана»:

${{\mathbf{J}}_{I}}\left( x \right)\cdot \mathbf{n}\left( x \right)=0\ ,\ \forall x\in \partial {{\Omega }_{t}}\quad |\quad d\mathbf{\Sigma }=\mathbf{n}d\Sigma$

затем:

$\int\limits_{\Sigma \equiv \partial {{\Omega }_{t}}}{{{\mathbf{J}}_{I}}\cdot d\mathbf{\Sigma }}=0$

Итак${{J}_{I}}$текущее сохранение подразумевает, что «заряд»${{Q}_{I}}$постоянна во времени, т. е. сохраняется.