Тривиальный законсервированный ток Нётер со вторыми производными

Я рассматриваю преобразование симметрии лагранжиана

дельта А "=" ∫ л ( д + дельта д , д ˙ + дельта д ˙ , д ¨ + дельта д ¨ ) г т

общая вариация принимает вид

дельта А "=" ∫ ∂ л ∂ д дельта д + ∂ л ∂ д ˙ дельта д ˙ + ∂ л ∂ д ¨ дельта д ¨ г т

Теперь второй член внутри интеграла обычно обрабатывается как:

∫ ∂ л ∂ д ˙ дельта д ˙ "=" ∂ л ∂ д ˙ дельта д − ∫ ∂ ∂ т ( ∂ л ∂ д ˙ ) дельта д

третий термин требует дополнительной работы, у меня это так:

∫ ∂ л ∂ д ¨ дельта д ¨ "=" ∂ л ∂ д ¨ дельта д ˙ − ∂ ∂ т ( ∂ л ∂ д ¨ ) дельта д + ∫ ∂ 2 ∂ 2 т ( ∂ л ∂ д ¨ ) дельта д

Итак, мой вариант (который в случае симметрии должен быть равен нулю до граничных членов)

дельта А "=" ∫ { ∂ л ∂ д − ∂ ∂ т ( ∂ л ∂ д ˙ ) + ∂ 2 ∂ 2 т ( ∂ л ∂ д ¨ ) } дельта д г т + { ∂ л ∂ д ˙ − ∂ ∂ т ( ∂ л ∂ д ¨ ) } дельта д + ∂ л ∂ д ¨ дельта д ˙

Теперь я принимаю оба граничных условия за сохраняющиеся токи:

∂ л ∂ д ˙ − ∂ ∂ т ( ∂ л ∂ д ¨ )

и

∂ л ∂ д ¨

Но если второй является сохраняющимся током, то его производная равна нулю, и сохраняющийся ток становится тривиально идентичным случаю первого порядка.

Что за ошибка в моем выводе?

Вы знаете, что этот результат неверен? Мне это не кажется очевидным.

Ответы (1)

Комментарии к вопросу (v2):

  1. Пусть задан лагранжиан

    (1) л ( д , в , а , т ) , в я   "="   д ˙ я , а я   "="   в ˙ я , ȷ я   "="   а ˙ я ,
    это зависит от производной по времени с точностью до второй.

  2. Позволять

    (2) дельта д я   "="   ε Д я ( д , в , а , т ) ,
    — (глобальная, вертикальная) квазисимметрия лагранжиана, т. е. существует функция ф ( д , в , а , ȷ , т ) такой, что
    (3) дельта л   "="   ε г ф г т .
    Здесь ε является бесконечно малым постоянным параметром.

  3. Теорема Нётер (первая) утверждает, что одна квазисимметрия (3) соответствует одному закону сохранения на оболочке 1

    (4) г Вопрос г т   ≈   0.

  4. Соответствующий (полный) нётеровский заряд в этом случае равен

    (5) Вопрос   "="   ( ∂ л ∂ в я − г г т ∂ л ∂ а я ) Д я + ∂ л ∂ а я г Д я г т − ф .

  5. Ошибка в выводе OP, похоже, заключается в том, что его в принципе не существует.

--

1 Здесь ≈ символ обозначает равенство по модулю уравнений Эйлера-Лагранжа (ЭЛ). Обратите внимание, что для того, чтобы иметь четко определенные уравнения EL. необходимо наложить соответствующие граничные условия.

«Ошибка в выводе ОП, похоже, заключается в том, что его в принципе не существует». Я не понимаю, что вы имеете в виду? что именно не существует?
Это означает, что, по-видимому, нет никаких доказательств того, что оба граничных члена [которые предлагаются в вопросе (v2)] являются сохраняющимися токами, во-первых, отчасти потому, что квазисимметрия не была указана явно, и следовательно, никаких фактических претензий для обсуждения.
бы ф (которые я понимаю как чистые граничные термины) быть другой функцией для разных преобразований симметрии? не понятно как вычислить ф что идет в конце Вопрос выражение в общем случае. Будет ли это отличаться для переводов, вращений или временных сдвигов?
Я полагаю, что мои сомнения сводятся к следующему: вам нужно вычислить вариацию действия во всех случаях, чтобы получить ф ? воля ф быть просто равным всем граничным условиям окончательной вариации?
Невозможно привести общую формулу для ф . Можно только вычислить ф для конкретно заданных лагранжианов и преобразований квазисимметрии.
Этот формализм, который вы здесь используете, доступен где-то в литературе с такими обозначениями для лагранжианов более высокого порядка и обобщенных симметрий? Любая ссылка, которую вы могли бы предоставить, была бы полезна для меня! Заранее спасибо...
Тривиальный законсервированный ток Нётер со вторыми производными
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v