Путаница с симметрией и сохранением

Question

Путаница с симметрией и сохранением

Дэниел В.

Я думаю, что неправильно понимаю концепцию симметрии в лагранжевой механике или, может быть, я неправильно понимаю содержание теоремы Нётер. Позвольте мне уточнить:

Предполагать $L(q,\dot q,t)$ является лагранжианом некоторой физической системы, то с помощью уравнения Эйлера-Лагранжа вы можете определить уравнение движения (в данном случае одно уравнение) координаты $q$ . Оказывается, что $L^´:=L+\frac{d}{dt}f(q,t)$ приводит к точно таким же уравнениям движения (для любой функции $f(q,t)$ ), поэтому мы можем рассмотреть $L$ и $L^´$ эквивалентные лагранжианы. Обратите внимание, однако, что это работает только тогда, когда $f$ не зависит от $\dot q$ . Если $f$ зависит от $\dot q$ на самом деле лагранжианы могут привести к другим уравнениям движения.
Теперь вот концепция симметрии, которую я считал правильной (однако я не уверен, что это действительно правильно):

Когда мы делаем небольшое бесконечно малое преобразование координат $q \rightarrow q' = q + \epsilon \chi$ тогда вариация лагранжиана (при таком преобразовании) должна иметь следующий вид:

дельта л "=" ϵ \frac{г}{г т} ф (д, т)

$\delta L = \epsilon \frac{d}{dt} f(q,t)$ С

f

$f$ зависит только от

q

$q$ и

t

$t$ , мы знаем, что лагранжиан существенно не изменился (приводит к тем же уравнениям движения) и, следовательно, симметричен относительно преобразования координат.
Но когда я посмотрел на доказательство теоремы Нётер, я обнаружил, что оно действительно не нужно для

f

$f$ не зависеть от

\dot{q}

$\dot q$ . Состояние

дельта л "=" ϵ \frac{г}{г т} ф (д, \dot{д}, т)

$\delta L = \epsilon \frac{d}{dt} f(q,\dot q ,t)$ достаточно для теоремы Нётер (в том смысле, что вы получите сохраняющуюся величину).
Итак, что мне здесь не хватает? Я думал, что теорема Нётер гласит, что каждая симметрия подразумевает сохраняющуюся величину, а каждая сохраняющаяся величина подразумевает симметрию. Но глядя на это, кажется, что есть какие-то сохраняющиеся величины, не связанные с какой-то симметрией. Или я неправильно понимаю понятие симметрии?

Ответы (2)

Путаница с симметрией и сохранением

Диракология · Answer 1

Теорема Нётер на самом деле говорит, что непрерывные симметрии действия заключаются в константах движения. Дьявол кроется в деталях, а деталями здесь являются термины симметрии действия и константы движения . Под симметриями действия будем понимать преобразования, оставляющие действие инвариантным или квазиинвариантным, т. е. не изменяющие уравнения движения. Константы движения – это величины, которые остаются постоянными во времени эволюции системы.

Когда кто-то делает бесконечно малое преобразование $q\rightarrow q+\epsilon \chi$ , лагранжево изменение как

дельта л "=" \frac{\partial л}{\partial д} ϵ х + \frac{\partial л}{\partial \dot{д}} ϵ \dot{х} "=" ϵ (\dot{п} х + п \dot{х}) "=" ϵ \frac{г}{г т} (п х) .

$\delta L=\frac{\partial L}{\partial q}\epsilon\chi+\frac{\partial L}{\partial \dot q}\epsilon\dot\chi=\epsilon (\dot p\chi +p\dot\chi)=\epsilon\frac{d}{dt}(p\chi).$ Чтобы действие было не более чем квазиинвариантным,

S

$S$ и

S^{'}

$S'$ должны отличаться не более чем на член

f (q, t)

$f(q,t)$ , так как в этом случае принцип Гамильтона влечет за собой те же уравнения движения. Следовательно, мы можем считать,

С^{'} - С "=" ϵ \int дельта л г т "=" ϵ \int \frac{г ф (д, т)}{г т} г т,

$S'-S=\epsilon\int\delta Ldt=\epsilon\int \frac{df(q,t)}{dt}dt,$ и поэтому

\frac{г}{г т} (п х) "=" \frac{г ф (д, т)}{г т},

$\frac{d}{dt}(p\chi)=\frac{df(q,t)}{dt},$ или

С "=" п х - ф (д, т),

$C=p\chi-f(q,t),$ есть постоянная движения во времени эволюции системы.

Если

дельта л "=" ϵ \frac{г ф (д, \dot{д}, т)}{г т},

$\delta L=\epsilon \frac{df(q,\dot q,t)}{dt},$ затем

С^{'} - С "=" ϵ \int дельта л г т "=" ϵ \int \frac{г ф (д, \dot{д}, т)}{г т} г т .

$S'-S=\epsilon\int\delta Ldt=\epsilon\int \frac{df(q,\dot q,t)}{dt}dt.$ Однако мы не можем сказать

С^{'} "=" п х - ф (д, \dot{д}, т)

$C'=p\chi-f(q,\dot q,t)$ является константой движения, потому что сами уравнения движения изменились. Система имеет одну динамическую эволюцию до преобразования и другую после. Бессмысленно сравнивать значение какой-либо динамической переменной, используя различные динамические эволюции.

Qмеханик · Answer 2

ОП написал (v3):

[...] Оказывается, что $L^´:=L+\frac{d}{dt}f(q,t)$ приводит к точно таким же уравнениям движения (для любой функции $f(q,t)$ ), поэтому мы можем рассмотреть $L$ и $L^´$ эквивалентные лагранжианы. Обратите внимание, однако, что это работает только тогда, когда $f$ не зависит от $\dot{q}$ . Если $f$ зависит от $\dot{q}$ на самом деле лагранжианы могут привести к другим уравнениям движения. [...]

Если существуют вариационные/функциональные производные , то уравнения Эйлера-Лагранжа (ЭЛ) не зависят от $f$ даже если это зависит от $\dot{q}$ , ср. например, этот пост Phys.SE.

[...] Но когда я посмотрел на доказательство теоремы Нётер, я обнаружил, что это действительно не нужно для $f$ не зависеть от $\dot q$ . [...]

Правильный.

[...] Я думал, что теорема Нётер гласит, что каждая симметрия подразумевает сохраняющуюся величину, а каждая сохраняющаяся величина подразумевает симметрию. [...]

Только первое является теоремой Нётер . Последнее было бы обратной теоремой Нётер , которая выполняется только при дополнительных предположениях.

Путаница с симметрией и сохранением

Дэниел В.

Ответы (2)

Диракология

Qмеханик

Тривиальный законсервированный ток Нётер со вторыми производными

Теорема Нётер: форма бесконечно малого преобразования

Задача с теоремой Нётер для доказательства сохранения энергии

Суммарная энергия в реономных системах

Связь между векторным полем, генератором и скалярным полем в теореме Нётер

Инвариантность лагранжиана в теореме Нётер

Существует ли разумный полностью дискретизированный принцип Гамильтона?

Простое доказательство теоремы Нётер? [дубликат]

Доказательство теоремы Нётер в классической механике

Теорема Нётер о трансляционной симметрии пространства