Простое доказательство теоремы Нётер? [дубликат]

Мы рассматриваем инфинитезимальные преобразования поля в виде

$$\phi\to\phi' = \phi(x)+\alpha \Delta \phi(x)$$

для бесконечно малого параметра$\alpha$. Система называется инвариантной относительно такого преобразования, если она меняется с точностью до полной производной или поверхностного члена, т. е.

$$\mathcal{L}\to\mathcal{L}'=\mathcal{L}(x)+\alpha \,\partial_\mu F^{\mu}(x)$$

Варьируя по полям,

$$\alpha \Delta \mathcal{L} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}\alpha \Delta \phi + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)}\partial_\mu (\alpha\Delta \phi)$$ $$= \alpha \underbrace{\partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)}\Delta \phi\right)}_{F^\mu(x)} + \alpha \left[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}-\partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)}\right)\right]\Delta \phi$$

где в последней строке мы использовали уравнения движения, возникающие при требовании$\delta S=0$. Обратите внимание, что по этой причине второй член равен нулю, и, следовательно, мы можем объявить,

$$j^{\mu}(x)=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)}\Delta \phi - F^{\mu}(x)$$

которое удовлетворяет уравнению неразрывности,$\partial_\mu j^{\mu}=0$, или на языке векторного исчисления,

$$\frac{\partial j^{0}}{\partial t}+\nabla \cdot \vec{j}=0$$

Соответствующий нётеровский заряд определяется выражением

$$Q=\int \mathrm{d}^{d-1} x \, j^{0}$$

что можно проверить с помощью уравнения неразрывности и теоремы Стокса, что$Q$сохраняется локально.

---

Полезные ресурсы: Введение Пескина и Шредера в квантовую теорию поля