Существует ли «синглетное состояние» для 3 или более частиц со спином 1/2?

Каждая система с$N$или более электронов находится в гильбертовом пространстве$H=H_{\text{space}} \otimes H_{\text{spin}}$, с$H_{\text{space}}=H_{\text{space}}^{1}\otimes\cdots\otimes H_{\text{space}}^{N}$и$H_{\text{spin}}=H_{\text{spin}}^{1}\otimes\cdots\otimes H_{\text{spin}}^{N}$,$H^i$будучи$i$пространство -й частицы. Итак, система имеет состояние$|\Psi\rangle = |\Psi\rangle_{\text{space}} \otimes |\Psi\rangle_{\text{spin}} \in H$.

Чего я никак не мог придумать, так это антисимметричного спинкета.$|\Psi\rangle_{\text{spin}}$когда было более 3 электронов. Это означало бы, что единственный способ антисимметризации$|\Psi\rangle$, для$N\geq 3$, заключается в антисимметризации только пространственной части. Я думаю, что это странно, так как для$N=2$у нас есть антисимметричный спин-кет (синглетное состояние), так почему бы не иметь такие кеты для$N\geq 3$?

Пренебрегая пространственной частью и предполагая$N\geq 3$, если мы хотим описать$N$одинаковые спины$\sigma_k = \pm$, нам нужно антисимметризовать кет$|\sigma_1\rangle |\sigma_2\rangle \cdots |\sigma_N\rangle$следующим образом

Возьмем, к примеру, следующий кет (который мы хотим антисимметризовать)

Если мы посмотрим только на перестановки$p$которые не меняются$|\phi\rangle$, мы получим подгруппу$S_n S_m\subset S_N$, состоящий из:

$S_n$= перестановки$\alpha\in S_N$которые не меняют "$\underbrace{|+\rangle\cdots|+\rangle}_{n}$"разойди и не трогай "$\underbrace{|-\rangle\cdots|-\rangle}_{m}$" часть

и:

$S_m$= перестановки$\beta\in S_N$которые не касаются "$\underbrace{|+\rangle\cdots|+\rangle}_{n}$" часть и не меняй "$\underbrace{|-\rangle\cdots|-\rangle}_{m}$" часть

С$S_n S_m$все перестановки формы$\alpha \circ \beta$

Но дело в том, что половина элементов$S_n$четны, а другая половина нечетна, поэтому следующая сумма равна нулю:

Аналогичные вычисления можно было бы сделать для каждой перестановки$|\phi\rangle$, так что, заметив, что исходный кет$|\Psi\rangle_{\text{spin}}$представляет собой сумму таких терминов, как$A(|\phi'\rangle)$, с$|\phi'\rangle$являющиеся перестановками$|\phi\rangle$которые изменяют его (в отличие от предыдущего), оказывается, что$|\Psi\rangle_{\text{spin}} = 0$для каждого$N>2$! (с$|\Psi\rangle_{\text{spin}}$антисимметричный)