Собственные значения системы из двух частиц в связанном и несвязанном базисе

Рассмотрим систему из двух различимых частиц со спином 1/2 с гамильтонианом

$$\begin{align} H &= \frac{\alpha}{4} \vec{\sigma}_1 \cdot\vec{\sigma}_2.\\ \end{align}$$ где$\vec{\sigma}_1 = (\sigma_x\otimes 1, \sigma_y\otimes 1, \sigma_z\otimes 1)$и$\vec{\sigma}_2 = (1\otimes \sigma_x,1\otimes \sigma_y,1\otimes \sigma_z)$. В несвязанном z-базисе мы можем записать гамильтониан как $$\begin{align} H&= \frac{\alpha}{4}\left(\sigma_{x}\otimes\sigma_{x}+\sigma_{y}\otimes\sigma_{y}+\sigma_{z}\otimes\sigma_{z}\right)\\ &= \frac{\alpha}{4}\left(\sigma_{x}+\sigma_{y}+\sigma_{z}\right)\otimes\left(\sigma_{x}+\sigma_{y}+\sigma_{z}\right)\\ &= \frac{\alpha}{4}\begin{pmatrix}1 & 1-i\\ 1+i & -1\end{pmatrix}\otimes \begin{pmatrix}1 & 1-i\\ 1+i & -1\end{pmatrix} \end{align}$$ Матрица $$\begin{pmatrix}1 & 1-i\\ 1+i & -1\end{pmatrix}$$ имеет собственные значения$\pm\sqrt{3}$, поэтому в несвязанном диагональном базисе $$H = \frac{3\alpha}{4}\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & -1\end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & -1\end{pmatrix}$$ который имеет собственные векторы $$\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\hspace{2mm}, \hspace{2mm}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\hspace{2mm}, \hspace{2mm} \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$$ с соответствующими собственными значениями$3\alpha/4, -3\alpha/4, -3\alpha/4, 3\alpha/4$.

Мы могли бы переписать гамильтониан как

$$\begin{align} H &= \frac{\alpha}{2}\left[\left(\frac{1}{2}\vec{\sigma}_1+\frac{1}{2}\vec{\sigma}_2\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\vec{\sigma}_1\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\vec{\sigma}_2\right)^2\right]\\ &=\frac{\alpha}{2}\left[s(s+1) - \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2} +1\right) - \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2} +1\right)\right]\\ &=\frac{\alpha}{2}\left[s(s+1) - \frac{3}{2}\right] \end{align}$$ где$s$спин в связанном базисе ($s=0$или$1$). Поэтому собственные значения гамильтониана в связанном базисе равны$-3\alpha/4$(с вырождением 1) и$\alpha/4$(с вырождением 3).

Собственные значения гамильтониана не должны зависеть от вашего выбора базиса, но в приведенном выше примере я получаю разные собственные значения в связанных и несвязанных базах. Где я ошибаюсь?

Решение (спасибо Вадиму): В$|\uparrow\uparrow\rangle, |\uparrow\downarrow\rangle,|\downarrow\uparrow\rangle,|\downarrow\downarrow\rangle$базисе гамильтониан принимает вид

$$\begin{align} H&= \frac{\alpha}{4}\left(\sigma_{x}\otimes\sigma_{x}+\sigma_{y}\otimes\sigma_{y}+\sigma_{z}\otimes\sigma_{z}\right)\\ &= \frac{\alpha}{4}\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&2&0\\0&2&-1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix} \end{align}$$ который имеет собственные значения$-3\alpha/4$и$\alpha/4$. Это не то же самое, что $$\begin{align} \frac{\alpha}{4}\left(\sigma_{x}+\sigma_{y}+\sigma_{z}\right)\otimes\left(\sigma_{x}+\sigma_{y}+\sigma_{z}\right) = \frac{\alpha}{4}\begin{pmatrix}1&1-i&1-i&-2i\\1+i&-1&2&-1+i\\1+i&2&-1&-1+i\\2i&-1-i&-1-i&1\end{pmatrix} \end{align}$$ который имеет собственные значения$\pm3\alpha/4$.