Триплетные и синглетные состояния: фермионные или бозонные?

Предположим, у нас есть две частицы со спином 1/2 без орбитального углового момента. Мы решили работать с собственным базисом полного углового момента С 2 и С г , что дает нам триплетные и синглетные состояния:

( с "=" 1 , т р я п л е т , с у м м е т р я с ) { | 11 ⟩ "=" | ↑↑ ⟩ | 10 ⟩ "=" 1 2 ( | ↑↓ ⟩ + | ↓↑ ⟩ ) | 1 − 1 ⟩ "=" | ↓↓ ⟩ ( с "=" 0 , с я н г л е т , а н т я с у м м е т р я с ) { | 00 ⟩ "=" 1 2 ( | ↑↓ ⟩ − | ↓↑ ⟩ )

  1. И триплетное, и синглетное состояния имеют целочисленные полные спины. Это предполагает, что составная система из двух частиц со спином 1/2 ведет себя бозонно. Хотя триплетное состояние соответствует этому, будучи полностью симметричным, синглетное состояние полностью антисимметрично. Учитывая, что нет других частей волновой функции, которые мы могли бы антисимметрировать, мы застряли с полностью антисимметричным состоянием, описывающим с "=" 0 , то есть для бозонов. Что я упускаю здесь, что порождает это противоречие?

  2. Всегда ли разрешены четыре перечисленных выше состояния ? Или это зависит от того, идентичны или различимы две частицы со спином 1/2 ?

    Я думаю, что если они различимы, то разрешены все четыре состояния, имея в виду мою путаницу, описанную в вопросе 1 (то есть я думаю, что система должна вести себя бозонно, но синглетное состояние антисимметрично).

    Если частицы идентичны, то я не могу их различить, и, насколько я могу судить, у меня есть составная система из двух фермионов, и я знаю, что составное состояние должно быть антисимметричным. Следовательно, допустимо только синглетное состояние.

Ответы (2)

  1. Противоречия нет. Спин частицы — не единственный ее атрибут. Двухфермионное состояние должно быть антисимметричным относительно обмена всеми их атрибутами, а не только спином. Если состояние симметрично относительно обмена их спинами , то оно антисимметрично относительно обмена другими их атрибутами (такими как местоположение или импульс, не показанные в ОП), и наоборот.

  2. Показанные четыре состояния допускаются независимо от того, являются ли частицы различимыми или «идентичными» (один и тот же вид). Для случая идентичных частиц рассмотрим два электрона в ортогелии и парагелии ( https://en.wikipedia.org/wiki/Helium_atom ). Для случая неидентичных частиц рассмотрим различные возможные состояния атома водорода, принимая во внимание параллельную или антипараллельную конфигурацию спина электрона/нуклона ( http://www.feynmanlectures.caltech.edu/III_12.html ) . .

Хорошо, я сначала тоже так подумал, но потом не смог разобраться в вопросе Сакурая 7.3. Однако, если вы примете точку зрения, представленную в OP, вы получите правильный ответ на проблему 7.3. Я не упомянул об этом в ОП, потому что я не задаю конкретного вопроса о том, как решить эту проблему, но меня больше интересует изучение концепций, лежащих в ее основе. Например, в решении задачи 7.3 мы утверждаем, что только спиновые состояния можно сделать симметричными/антисимметричными, поэтому для этой проблемы антисимметричное подмножество должно быть запрещено. У вас есть доступ к этой проблеме?
У меня сейчас нет доступа к книге Сакураи, поэтому я не знаю, в чем лазейка. Вопрос 7.3 рассматривает случай, когда фермионы находятся в одном и том же пространственном состоянии, как описано в ответе @AndrewSteane?
Сакураи 7.3 касается ограничений, которые мы имеем на спиновые состояния для случая двух идентичных частиц со спином 1. Исходя из вашей точки зрения в № 1, я думал, что не будет ограничений на спиновые состояния, потому что пространственные состояния всегда можно выбрать для обеспечения общего симметричного состояния. Но согласно решению, мы должны запретить все антисимметричные состояния и разрешить существование только симметричных.
@Ptheguy Для двух частиц со спином 1 состояние должно быть симметричным относительно обмена всеми их атрибутами, если предположить, что частицы со спином 1, как обычно, являются бозонами. Я сформулировал ответ для фермионов, потому что в вопросе указывались две частицы со спином 1/2 (теорема о спиновой статистике), и это соответствовало уравнениям, написанным в ОП. Для двух бозонов со спином 1 общее состояние должно быть симметричным, а не антисимметричным, поэтому, если оно уже симметрично по всем неспиновым атрибутам, то оно также должно быть симметричным по спину.
Конечно, но как вы поняли, что состояние «симметрично по всем атрибутам, не относящимся к спину»? Вы заключили это только из того факта, что частицы называются идентичными? Если да, то почему? Если нет, то как вы это получили?
@Ptheguy Я не пришел к этому выводу. Я делал утверждение «если-то». Если состояние 2-бозона оказывается симметричным по всем неспиновым атрибутам, то оно также должно быть симметричным по спину. У меня до сих пор нет доступа к Sakurai, поэтому я боюсь, что могу запутать проблему, пытаясь охватить все основы и предлагая, возможно, несвязанные примеры.
Я вижу, я хорошо разбираюсь во всех случаях. Просто в задаче Сакураи он не упоминает ничего, кроме спина, и поэтому мы должны сделать так, чтобы только спиновые состояния были симметричными. Я предполагаю, что если нам говорят, что частицы идентичны, у нас не должно быть никакой другой информации в нашем распоряжении — иначе мы могли бы их различить. Таким образом, мы должны сделать все спиновые состояния симметричными, поскольку только они несут ответственность за обеспечение симметрии общего состояния.
@Ptheguy Интересно, использует ли автор слова «частицы идентичны» для обозначения того, что они находятся в одном и том же состоянии (за исключением, возможно, их спинов), а не просто принадлежат к одному и тому же виду. Тогда у нас было бы достаточно информации, чтобы определить симметрию/антисимметрию спинового состояния. Всякий раз, когда я читаю в уважаемой книге по физике что-то, чего не понимаю, я спрашиваю себя: «Я упустил ключевую концепцию или это просто случай двусмысленного языка?» Часто это оказывается последним, но это может быть трудно диагностировать. И я уверен, что я не единственный, кто борется с этим.

Сначала по вашему пункту 1. Нет никакого противоречия между двухспиновой системой, имеющей антисимметричное состояние по отношению к обмену составных частей, но симметричной по отношению к обмену этой пары с какой-либо другой парой.

Как вы говорите, система с двумя спинами в целом является бозонной. В частности, синглетное состояние обладает правильными свойствами, чтобы быть С "=" 0 состояние. Например, он не меняется при поворотах системы координат.

Можно взять любое количество пар фермионов в таком состоянии и перевести их всех в одно и то же пространственное состояние. Если все эти фермионы взаимно неразличимы, то состояние будет симметричным по отношению к обмену одной пары с любой другой парой и антисимметричным по отношению к обмену одного фермиона с любым другим фермионом.

Теперь пункт 2. Пара фермионов обладает как спиновыми, так и пространственными свойствами. Их совместное состояние иногда может быть разложено на пространственную часть в тензорном произведении со спиновой частью. Это не всегда происходит. Независимо от того, может ли состояние быть факторизовано таким образом, оно должно быть антисимметричным по отношению к обмену этими двумя фермионами, если фермионы представляют собой пару частиц одного и того же типа (например, два электрона). Если состояние может быть факторизовано, то его полная антисимметрия достигается, если:

либо спиновое состояние является синглетным, а пространственное состояние симметричным

или спиновое состояние представляет собой триплет, а пространственное состояние антисимметрично

Следовательно, если системе доступно любое пространственное состояние, то также доступно любое спиновое состояние. Если две частицы находятся в одном и том же пространственном состоянии, то общее пространственное состояние не может не быть симметричным, поэтому в этом случае спиновое состояние должно быть синглетным.

(1) В вашем пункте № 2 кажется, что система двух электронов должна иметь общее антисимметричное состояние. Но разве мы не пришли к выводу, что система из двух частиц со спином 1/2 ведет себя бозонно? Я полагаю, что вы одобрили этот вывод в своем посте выше. (2) Кроме того, правильно ли я понимаю, что когда у вас есть система идентичных частиц и доступны пространственные состояния, то эти состояния симметричны; а если в системе есть неидентичные частицы, то мы можем образовывать антисимметричные пространственные состояния?
Дополнение: Что касается (1) в моем предыдущем комментарии, я полагаю, что мое замешательство произошло из-за того, что вы упустили из виду ваш акцент на обмене парой фермионов на один фермион. Я думаю, имея это в виду, я хорош на этом фронте. Кроме того, я думаю, что ответ на (2) - нет. Пространственная часть может быть сделана симметричной или антисимметричной, как и любые другие состояния.
Триплетные и синглетные состояния: фермионные или бозонные?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v