Свет падает на линзу GRIN (градиентный индекс) под оптическим углом

В среде с переменным показателем преломления$n(x,y)$дифференциальные уравнения для точки кривой луча$(x,y)$следующие ¹ :

где параметр$s$это путь вдоль луча.

Если мы предположим, что показатель преломления изменяется вдоль$y$но оставаться постоянным вдоль$x$, например

а затем попытаться заменить то, что мы считаем решением для$y$-координата луча,

мы обнаружим, что второе уравнение читается

Другими словами, это решение справедливо только для вакуума, а не для любого материала с линейным показателем преломления. Аналогичные результаты будут для квадратичного профиля показателя преломления. Таким образом, луч должен искривляться, а не распространяться по прямой линии.

Если вы попытаетесь вместо этого$n(x,y)$кусочно-постоянная по$y$, вы обнаружите, что лучи действительно могут распространяться вдоль полос с постоянным показателем преломления, так что это не противоречит закону Снеллиуса. Просто на границе закон Снелла не работает, и в пределе гладкого профиля показателя преломления все точки будут границами.

Рекомендации

1: Кевин Браун, «Размышления об относительности» , §8.4 «Размышления об относительности» . Соответствующий вывод цитируется в моем ответе на Как рассчитать путь преломленного света, когда показатель преломления постоянно увеличивается?

Для начала учтите, что уравнения Максвелла предназначены для расхождений и вихрей полей. Эти величины не являются строго локальными в том смысле, что они чувствительны к тому, что поля делают поблизости, потому что они являются производными в пространстве. Имея это в виду, возможно, немного более интуитивно понятно, почему лучи могут изгибаться, даже если они изначально движутся перпендикулярно градиенту.

Световые волны распространяются в направлении, перпендикулярном фронту волны. Когда плоская волна падает на левую сторону линзы GRIN на приведенной вами диаграмме, скорость распространения волнового фронта увеличивается с радиальным расстоянием от оси линзы. В результате фронт волны деформируется в вогнутый сферический волновой фронт — так же, как это происходит с обычной линзой. Сферический волновой фронт сходится к фокусу, потому что он распространяется в перпендикулярном направлении, к центру кривизны волнового фронта.