Свободное вращение твердого тела

Утверждение действительно касается преобразования между инерциальными координатами и координатами, закрепленными за телом. Это выражается:

$$D_t = d_t + \omega(t)\times\tag{1}$$

где$D_t$- "полная" производная, т.е. производная по времени в инерциальной системе отсчета,$d_t$- производная по времени в системе координат, закрепленной на теле.

Так как на теле нет моментов, момент количества движения сохраняется в инерциальной системе отсчета так, что$D_t L=0$. Поэтому мы получаем:

$$d_t L = -\omega(t)\times L\tag{2}$$

Итак, в системе, закрепленной на теле, производная по времени от$L$дается перекрестным произведением с$L$, поэтому производная по времени всегда находится под прямым углом к$L$. Поэтому,$|L|$постоянно, но$L$конечно, может изменить направление по (2): его голова ограничена сферой.

Таким образом, это рассуждение дает$I_{1}^2w_{1}^2 + I_{2}^2w_{2}^2 + I_{3}^2w_{3}^2 = const.$

Другое уравнение$I_{1}w_{1}^2 + I_{2}w_{2}^2 + I_{3}w_{3}^2 = 2T_{rot}$не следует из абзаца, на который вы ссылаетесь, но, тем не менее, это правильно: вместо этого это утверждение о сохранении кинетической энергии вращения , а не углового момента.

---

BTW (1) выводится из правила Лейбница, примененного к матричному уравнению$X=\exp(H(t))\,Y(t)$где$H$это$3\times 3$кососимметричная матрица;$Y$- координаты в системе координат, закрепленной на теле,$X$находятся в инерциальной системе отсчета и$\exp(H)$является полным оператором вращения: мы думаем о координатах, записанных как$3\times 1$векторы-столбцы. В$t=0$(когда наши системы координат мгновенно выровнены) это дает$\dot{X} = \Omega(t)\,Y + \dot{Y}$, где$\Omega(t)$выводится сложной теоретико-лиевой формулой из кососимметричного$H$, но$\Omega$тем не менее является кососимметрией$3\times 3$матрица и, таким образом, может быть представлена ​​в виде векторного произведения$\omega\times Y$.

У меня нет этого текста, но я могу найти оглавление в Интернете. Где-то в этом тексте (скорее всего, в главе 5 о неинерциальных системах отсчета) должен быть вывод, что для любой векторной величины$\boldsymbol q$, производная по времени этого вектора в инерциальной системе отсчета и вращающейся системе отсчета, которые имеют одно и то же начало, связаны соотношением

$$\left(\frac{d \boldsymbol q}{dt}\right)_\text{inertial} = \left(\frac{d \boldsymbol q}{dt}\right)_\text{rotating} + \boldsymbol \omega \times \boldsymbol q \tag 1$$

Это то же выражение, что и первое уравнение в ответе WetSavannaAnimal, но выраженное в терминах, более созвучных тому, кто читает Fowles & Cassiday.

В частном случае а$\boldsymbol q$будучи постоянным в инерциальной системе отсчета, приведенное выше сводится к

$$\left(\frac{d \boldsymbol q}{dt}\right)_\text{rotating} = - \, \boldsymbol \omega \times \boldsymbol q$$ Обратите внимание, что правая часть либо равна нулю, либо нормальна к $\boldsymbol q$. Это поднимает важную концепцию: производная по времени вектора постоянной длины либо равна нулю, либо нормальна к рассматриваемому вектору. Верно и обратное: если производная вектора по времени всегда равна нулю или нормальна к рассматриваемому вектору, величина этого вектора обязательно должна быть постоянной. В случае вращения без крутящего момента угловой момент является сохраняющейся величиной в инерциальной системе отсчета. Вышеизложенное означает, что с точки зрения неподвижной рамы величина углового момента постоянна в случае вращения без крутящего момента: $$L^2 = \boldsymbol L \cdot \boldsymbol L = (I_1\omega_1)^2 + (I_2\omega_2)^2 + (I_3 \omega_3)^2 = \text{constant} \tag 2$$

Предполагая, что все главные моменты инерции положительны, это уравнение эллипсоида. Что делать, если рама, закрепленная на теле, не выровнена по главным осям? Вы получите более беспорядочную квадратичную форму, но все же эллипсоид, если эта квадратичная форма положительно определена. Эта квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда главные моменты инерции положительны и оси этого эллипсоида являются главными осями.

А как насчет того другого эллипсоида? Один из способов прийти к этому результату — предположить, что кинетическая энергия сохраняется. Это не обязательно правильное предположение. На самом деле, в случае нежесткого тела он не работает. В то время как энергия (на мгновение) сохраняется для нетвердого тела, кинетическая энергия не сохраняется. Часть энергии вращения преобразуется в тепло в случае нетвердого тела, и это тепло в конечном итоге излучается во Вселенную.

Альтернатива состоит в том, чтобы еще раз использовать тот факт, что угловой момент сохраняется. я посмотрю$\frac{d}{dt}(2T) = \frac{d}{dt}(\boldsymbol \omega \cdot \boldsymbol L)$с точки зрения вращающейся рамы. Это расширяется до$\frac{d\boldsymbol \omega}{dt}\cdot \boldsymbol L + \boldsymbol \omega \cdot \frac{d\boldsymbol L}{dt}$. Из вышесказанного,$\frac{d\boldsymbol L}{dt} = -\boldsymbol \omega \times \boldsymbol L$. Он либо равен нулю, либо ортогонален$\boldsymbol \omega$, поэтому второй член справа равен нулю. После небольшой алгебры (не показано) первый член также исчезает. Таким образом$\frac{d}{dt}(\boldsymbol \omega \cdot \boldsymbol L)$равен нулю; кинетическая энергия действительно сохраняется в случае вращения твердого тела без крутящего момента:

$$\boldsymbol \omega \cdot \boldsymbol L = I_1{\omega_1}^2 + I_2{\omega_2}^2 + I_3 {\omega_3}^2 = 2T \tag 3$$