Масса, висящая под столом: проблема от Гольдштейна [закрыто]

Question

Масса, висящая под столом: проблема от Гольдштейна [закрыто]

Анатолий Воробей

Я пытаюсь решить задачу 1.19 из главы 1 Гольдштейна (2-е издание) и увязаю в тригонометрии (?). Пожалуйста, помогите мне понять, что я делаю неправильно!

Две точки массы $m_1$ и $m_2$ соединены нитью, проходящей через отверстие в гладком столе так, что $m_1$ лежит на столе и $m_2$ висит в подвешенном состоянии. Предполагая $m_2$ движется только по вертикали, каковы обобщенные координаты системы? Запишите уравнения Лагранжа для системы и, если возможно, обсудите физическое значение каждого из них. Свести задачу к одному дифференциальному уравнению второго порядка и получить первый интеграл уравнения. Каков его физический смысл? (Рассматривайте движение только до тех пор, пока ни $m_1$ ни $m_2$ проходит через отверстие).

Я пытаюсь найти лагранжиан настолько строго, насколько могу. Кажется, что цель задачи состоит в том, чтобы установить постоянную длину веревки в качестве связи и силы натяжения в обеих точках в качестве сил связи, которыми можно пренебречь при построении лагранжиана. Но я не могу доказать, что могу игнорировать их.

Пусть начало координат находится в яме, а $\mathbf{r}_1$ , $\mathbf{r}_2$ быть векторами положения двух точек. Я предполагаю, как известно, что напряжение $T$ одинаково на обоих концах веревки. Тогда, если полярный угол первой точки $\phi$ , сила натяжения в первой точке равна $(F_{1x},F_{1y}) = (-T\cos\phi,-T\sin\phi)$ и по второму пункту $F_{2z} = -T$ , перечисляя только нетривиальные координаты. Голономное уравнение связи имеет вид $|\mathbf{r}|_1+|\mathbf{r}_2| = R$ где $R$ - постоянная длина веревки.

Теперь ясно, что силы натяжения не похожи на обычную силу ограничения из таблицы в первой точке, которая сразу исчезает, потому что она ортогональна скорости. Силы натяжения совершают ненулевую виртуальную работу над каждой частицей, но кажется, что я должен быть в состоянии доказать, что, как и в случае с твердым телом, в силу 3-го закона Ньютона они обращаются в нуль при суммировании по частицам. Другими словами, я должен доказать, что в системе выполняется принцип Даламбера: чистая виртуальная работа сил связи равна нулю .

Позволять $\delta\mathbf{r_1} = (\delta r_1,\psi)$ (в полярных координатах) и $\delta\mathbf{r_2} = \delta r_2$ быть виртуальными смещениями двух точек, согласованными с ограничениями. Тогда полная виртуальная работа двух сил связи равна

- Т потому что ф (дельта р_{1} потому что ψ) - Т грех ф (дельта р_{1} грех ψ) - Т дельта р_{2} "=" Т дельта р_{1} потому что (ф - ψ) + Т дельта р_{2} "=" 0

$-T\cos\phi(\delta r_1\cos\psi)-T\sin\phi(\delta r_1\sin\psi)-T\delta r_2 = T\delta r_1\cos(\phi-\psi) + T\delta r_2 = 0$ и я должен показать, что это верно, если

(δ r_{1}, δ r_{2})

$(\delta\mathbf{r_1},\delta\mathbf{r_2})$ удовлетворяют уравнению ограничения, что означает, что различия в длине между векторами положения должны совпадать:

| р_{1} + дельта р_{1} | - | р_{1} | "=" - (| р_{2} + дельта р_{2} | - | р_{2} |)

$|\mathbf{r_1}+\delta r_1|-|\mathbf{r_1}| = -(|\mathbf{r_2}+\delta r_2|-|\mathbf{r_2}|)$ Правая часть - это просто скаляр

- δ r_{2}

$-\delta r_2$ , но левая часть не так просто упрощается. Использование полярных координат

(r, ϕ)

$(r,\phi)$ кажется, сводится к

\sqrt{(р потому что ф + дельта р_{1} потому что ψ)^{2} + (р грех ф + дельта р_{1} грех ψ)^{2}} - р "=" \sqrt{р^{2} + дельта р_{1}^{2} + 2 р дельта р_{1} потому что (ф - ψ)} - р

$\sqrt{(r\cos\phi+\delta r_1\cos\psi)^2+(r\sin\phi+\delta r_1\sin\psi)^2}-r = \sqrt{r^2+\delta r_1^2 + 2r\delta r_1\cos(\phi-\psi)}-r$ и теперь я застрял. Кажется, мне нужно доказать

- δ r_{2} = δ r_{1} \cos (ϕ - ψ)

$-\delta r_2 = \delta r_1\cos(\phi-\psi)$ , чтобы заставить делать нулевую виртуальную работу вместе. В особом случае

ψ = ϕ

$\psi=\phi$ , когда первая точка движется по прямой линии к началу координат, приведенный выше квадратный корень упрощается,

r

$r$ исчезает, и я получаю желаемое

δ r_{1} = - δ r_{2}

$\delta r_1 = -\delta r_2$ . Но я не понимаю, как я могу это предположить, и на самом деле это кажется физически неверным, если, например, первая точка имеет начальную скорость в

y

$y$ направление.

Что я делаю/рассчитываю/предполагаю неправильно?

Кайл Канос

Обратите внимание, что Physics.StackExchange не является сайтом помощи при выполнении домашних заданий. Пожалуйста, прочитайте этот мета-пост о том, как задавать вопросы, похожие на домашнее задание, и этот мета-пост, чтобы узнать о задачах «проверить мою работу» .

Анатолий Воробей

Кайл, спасибо, что обратил на это мое внимание. Прочитав эти темы, я надеюсь, что мой вопрос останется в силе по следующим причинам: это не домашнее задание (я изучаю книгу самостоятельно), я думаю, что оно, возможно, указывает на концептуальное непонимание, а не на простую ошибку в расчетах, и Я попытался показать свою попытку подробно. Если вы считаете, что его можно улучшить, чтобы он стал более полезным, дайте мне знать.

Анатолий Воробей

@Timaeus Прочитав разные источники о виртуальных смещениях и виртуальной работе, я считаю, что нашел свою ошибку и попытался сам ответить на вопрос; был бы признателен за подтверждение/критику/способы улучшить ответ, если таковые имеются.

Аркья

@AnatolyVorobey Иногда это проблема с SE, эти люди называют законные концептуальные сомнения «помощью с домашним заданием».

Ответы (1)

Масса, висящая под столом: проблема от Гольдштейна [закрыто]

Обратите внимание, что Physics.StackExchange не является сайтом помощи при выполнении домашних заданий. Пожалуйста, прочитайте этот мета-пост о том, как задавать вопросы, похожие на домашнее задание, и этот мета-пост, чтобы узнать о задачах «проверить мою работу» .
Кайл, спасибо, что обратил на это мое внимание. Прочитав эти темы, я надеюсь, что мой вопрос останется в силе по следующим причинам: это не домашнее задание (я изучаю книгу самостоятельно), я думаю, что оно, возможно, указывает на концептуальное непонимание, а не на простую ошибку в расчетах, и Я попытался показать свою попытку подробно. Если вы считаете, что его можно улучшить, чтобы он стал более полезным, дайте мне знать.
@Timaeus Прочитав разные источники о виртуальных смещениях и виртуальной работе, я считаю, что нашел свою ошибку и попытался сам ответить на вопрос; был бы признателен за подтверждение/критику/способы улучшить ответ, если таковые имеются.
@AnatolyVorobey Иногда это проблема с SE, эти люди называют законные концептуальные сомнения «помощью с домашним заданием».

Анатолий Воробей · Answer 1

Я собираюсь ответить на свой вопрос.

Ключевая ошибка, которую я совершил, заключалась в непонимании природы виртуальных перемещений. Когда определяются виртуальные смещения, обычно говорят, что они «согласуются с ограничениями», и теперь я думаю, что эту фразу очень легко понять неправильно. То, как я неправильно понимаю это в своем вопросе, - это когда я написал

и я должен показать, что это верно, если $(\delta\mathbf{r_1},\delta\mathbf{r_2})$ удовлетворяют уравнению ограничения, что означает, что различия в длине между векторами положения должны совпадать:
$| р_{1} + дельта р_{1} | - | р_{1} | "=" - (| р_{2} + дельта р_{2} | - | р_{2} |)$ $|\mathbf{r_1}+\delta r_1|-|\mathbf{r_1}| = -(|\mathbf{r_2}+\delta r_2|-|\mathbf{r_2}|)$

Ключевая ошибка заключается в том, что воображают, что после перемещения за счет виртуального смещения векторы положения частиц должны по-прежнему удовлетворять уравнению связи . Это неправильно . Виртуальные смещения, как правило, не оставляют систему все еще удовлетворяющей ограничениям, как можно было бы предположить наивным прочтением «совместимых с ограничениями».

Простой наглядный пример — отдельная частица, вынужденная двигаться по поверхности сферы. Если мы рассмотрим виртуальное смещение частицы в любом заданном положении $\mathbf{r}$ , это не вектор $\delta\mathbf{r}$ такой, что $\mathbf{r}+\delta\mathbf{r}$ до сих пор на сфере! Нет, это вектор $\delta\mathbf{r}$ лежащей в плоскости , касательной к сфере в точке $\mathbf{r}$ , так что $\mathbf{r}+\delta\mathbf{r}$ определенно не в тему!

Правильный способ расчета ограничений на виртуальные перемещения состоит в следующем. Для каждого голономного уравнения связи вида $f(\mathbf{r}_1,...,\mathbf{r}_n,t)=0$ , виртуальные перемещения $\delta\mathbf{r}_1,...\delta\mathbf{r}_n$ ограничиваются уравнением

\nabla_{р_{1}} ф \cdot дельта р_{1} + . . . + \nabla_{р_{н}} ф \cdot дельта р_{н} "=" 0

$\nabla_{r_1}f\cdot\delta\mathbf{r}_1+...+\nabla_{r_n}f\cdot\delta\mathbf{r}_n=0$ (и вовсе не по совершенно неверному уравнению

f (r_{1} + δ r_{1}, . . ., r_{n} + δ r_{n}, t) = 0

$f(\mathbf{r}_1+\delta\mathbf{r}_1,...,\mathbf{r}_n+\delta\mathbf{r}_n,t)=0$ Я пытался использовать в своем посте).

Сейчас я исправлю анализ в своем посте и покажу, что действительно силы связи совершают нулевую виртуальную работу. Голономное уравнение связи имеет вид

ф (р_{1}, р_{2}) "=" | р_{1} | + | р_{2} | - р "=" 0

$f(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2) = |\mathbf{r}_1|+|\mathbf{r}_2| -R = 0$ Обозначим через

x_{1}, y_{1}

$x_1,y_1$ в

x, y

$x,y$ координаты первой частицы и по

z_{2}

$z_2$ (всегда отрицательный)

z

$z$ -координата второй частицы. Тогда, игнорируя всегда исчезающие координаты, мы имеем:

р_{1} "=" | р_{1} | "=" \sqrt{{Икс}_{1}^{2} + у_{1}^{2}}, р_{2} "=" | р_{2} | "=" - г_{2}

$r_1=|\mathbf{r_1}|=\sqrt{x_1^2+y_1^2}, r_2=|\mathbf{r_2}|=-z_2$

ф "=" \sqrt{{Икс}_{1}^{2} + у_{1}^{2}} - г_{2} - р "=" 0

$f = \sqrt{x_1^2+y_1^2}-z_2-R=0$

\nabla_{р_{1}} ф "=" (\frac{\partial ф}{\partial {Икс}_{1}}, \frac{\partial ф}{\partial у_{1}}) "=" (\frac{{Икс}_{1}}{р_{1}}, \frac{у_{1}}{р_{1}})

$\nabla_{r_1}f = \left(\frac{\partial{f}}{\partial{x_1}},\frac{\partial{f}}{\partial{y_1}}\right)= \left(\frac{x_1}{r_1},\frac{y_1}{r_1}\right)$

\nabla_{р_{2}} ф "=" \frac{\partial ф}{\partial г_{2}} "=" - 1

$\nabla_{r_2}f = \frac{\partial{f}}{\partial{z_2}} = -1$ И виртуальные перемещения

δ r_{1} = (δ x_{1}, δ y_{1}), δ r_{2} = δ z_{2}

$\delta\mathbf{r}_1=(\delta x_1,\delta y_1), \delta\mathbf{r}_2=\delta z_2$ должен удовлетворить

(\frac{{Икс}_{1}}{р_{1}}, \frac{у_{1}}{р_{1}}) \cdot (дельта {Икс}_{1}, дельта у_{1}) + (- 1) дельта г_{2} "=" 0

$\left(\frac{x_1}{r_1},\frac{y_1}{r_1}\right)\cdot(\delta x_1,\delta y_1) + (-1)\delta z_2 = 0$ или, вернемся к векторам

\frac{р_{1} \cdot дельта р_{1}}{р_{1}} "=" дельта г_{2}

$\frac{\mathbf{r}_1\cdot\delta\mathbf{r}_1}{r_1} = \delta z_2$ Но с тех пор

r_{1} \cdot δ r_{1} = r_{1} δ r_{1} \cos (ϕ - ψ)

$\mathbf{r}_1\cdot\delta\mathbf{r}_1 = r_1 \delta r_1 \cos(\phi-\psi)$ , где

ϕ - ψ

$\phi-\psi$ это в точности угол между векторами

r_{1}, δ r_{1}

$\mathbf{r}_1,\delta\mathbf{r}_1$ рассмотренные в посте, мы приходим к соотношению, которое нам нужно, чтобы показать, что силы ограничений совершают нулевую виртуальную работу, как показано в посте:

- δ r_{2} = δ r_{1} \cos (ϕ - ψ)

$-\delta r_2 = \delta r_1\cos(\phi-\psi)$ (вплоть до переворота знака, который я где-то сделал, несомненно, из-за неудачного выбора отрицательного

z

$z$ направление).

Не могли бы вы объяснить, как вы пришли к ограничению для виртуальных перемещений? Тот, который связан с градиентом ограничения?

Масса, висящая под столом: проблема от Гольдштейна [закрыто]

Анатолий Воробей

Кайл Канос

Анатолий Воробей

Анатолий Воробей

Аркья

Ответы (1)

Анатолий Воробей

Аркья

Константы движения от лагранжиана

Классическая механика, Теоретический минимум: сохранение углового момента для двойного маятника без гравитационного поля

Преобразование координаты в лагранжиане

Демон Лагранжа де-сохраняет угловой момент

Применение уравнений Эйлера-Лагранжа (Тривиальная задача, поучительная)

Теорема Нётер: форма бесконечно малого преобразования

Помогите с символами Кристоффеля для задачи геометрической механики?

Можно ли обычным способом найти потенциальную функцию, если центральное поле по своей величине содержит ttt?

Угловой момент с изменяющимся моментом инерции

Лагранжева калибровочная инвариантность L′=L+df(q,t)dtL′=L+df(q,t)dtL’=L+\frac{df(q,t)}{dt}