Связь безмассового вектора с сохраняющимся током

Чтобы описать одночастичные состояния со спином-1 в лагранжевом описании, нам нужно использовать поле$A_\mu$. Это 4-вектор с точностью до калибровочных преобразований, а значит, при преобразованиях Лоренца$\Lambda^\mu_\nu$поле$A_\mu$трансформируется как

$$A_\mu \rightarrow \Lambda^\nu_{\,\,\mu}\, A_\nu + \partial_\mu\Omega(x)$$

где$\Omega(x)$является функцией операторов рождения и уничтожения. Соответственно, поляризации смещаются аналогично

$$\epsilon^\mu(p,\sigma) \rightarrow \Lambda^\nu_{\,\,\mu}\,\epsilon_\nu(p,\sigma) + p^\mu(...)$$

где детальное выражение$(...)$здесь неважно.

Конечным результатом этого обсуждения является то, что для того, чтобы иметь явно лоренц-инвариантные элементы S-матрицы (а также лоренц-инвариантную теорию), нам нужно написать теорию калибровочно-инвариантным способом.

Самый экономичный способ сделать это — соединить фотонное поле$A_\mu$к сохраняющемуся току

$$\mathcal{L}_A = -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}^2 + A_\mu J^\mu$$ и инвариантность относительно калибровочного преобразования восстанавливается на оболочке (т.е. на уравнении движения)

$$\delta \mathcal{L}_A = -\Omega(x)\partial_\mu J^\mu\Big|_\text{on-shell}=0$$

Самый известный пример — электронный ток.$J^\mu =e\,\bar{\psi}\gamma^\mu \psi$, потому что всегда указывается, что$\bar{\psi}\gamma^\mu\partial_\mu \psi=0$.

Вот мое замешательство. Когда мы измеряем$U(1)$глобальная симметрия$\psi\rightarrow e^{ie\alpha}\psi$, уравнение движения модифицируется связью$\psi$с$A_\mu$

$$(\gamma^\mu \partial_\mu + e A_\mu) \psi= 0$$

и это, по-видимому, говорит о том, что когда фермионный и калибровочный секторы сообщаются друг с другом, утверждение о сохранении тока уже не соответствует действительности. Действительно,

$$\partial_\mu J^\mu \Big|_\text{on-shell} = \partial_\mu(\bar{\psi})\gamma^\mu\psi + \bar{\psi}\gamma^\mu\partial_\mu\psi = -A_\mu \gamma^\mu \psi - \bar{\psi}\gamma^\mu A_\mu$$

Глупый вопрос

Эта последняя величина равна нулю? Другими словами, сохраняется ли глобальный сохраняющийся ток после того, как мы измерим$U(1)$симметрия?