Каковы фундаментальные инварианты в 1+d1+d1+d тусклом электромагнетизме?

Как мы знаем в 1 + 3 тусклый электромагнетизм, есть только два независимых калибровочно-инвариантных скаляра

1 2 Ф мю ν Ф мю ν "=" Б 2 − Е 2
1 4 Ф мю ν   * Ф мю ν "=" 1 4 ϵ мю ν α β Ф мю ν Ф α β "=" Б ⋅ Е .

Первое, конечно, можно обобщить на любую размерность. А вот второй во многом зависит от 1 + 3 тусклый

Как мы знаем в 1 + 1 тусклый

Ф мю ν "=" ( 0 − Е Е 0 )
Таким образом, два инварианта, которые я могу представить,
ϵ мю ν Ф мю ν "=" − 2 Е
и
Ф мю ν Ф мю ν "=" − 2 Е 2
Так что только один независим.

Итак, мой вопрос: в 1 + г тусклая электромагнитная теория, сколько независимых калибровочно-инвариантных скаляров и каковы они соответственно? Как доказать, что они являются единственными независимыми калибровочно-инвариантными скалярами? т. е. любые другие калибровочно-инвариантные скаляры могут быть построены ими. Я нашел доказательство в 1 + 3 тусклый, но это доказательство сильно зависит от физики в 1 + 3 тусклый и не может быть обобщен ни на какое измерение.

Ответы (1)

Если вы ограничите свой вопрос тем, каковы лоренц-инвариантные многочлены Ф мю ν , то вопрос имеет относительно простой ответ. Ф мю ν является антисимметричной матрицей, которая является тем же представлением, что и сопряженная группа Лоренца.

Инвариантные многочлены в присоединенном представлении алгебры г образуют то, что известно как центр универсальной обертывающей алгебры U г . Также известно, что центр г. U г для простого г конечно порождается н генераторы, известные как элементы Казимира. Здесь н равен рангу г .

В нашем случае алгебра с о ( г ) (или с о ( г − 1 , 1 ) но анализ не зависит от подписи), что то же самое, что и Д н для г "=" 2 н или Б н для г "=" 2 н + 1 .

Для Б н элементы Казимира просто Т р Ф к даже для к "=" 2 , 4 , … , 2 н . Здесь Ф к я имею в виду обычный к -й степени матрицы, а не Ф ∧ Ф ∧ … ∧ Ф . (Для нечетных к инвариант Т р Ф к исчезает - почему?)

Для Д н элементы Казимира Т р Ф к для к "=" 2 , 4 , … , 2 ( н − 1 ) , которые дают н − 1 инварианты. Последний н -й инвариант задается Пфаффианом Ф ,

п ф Ф ∝ ϵ мю 1 ν 1 мю 2 ν 2 … мю н ν н Ф мю 1 ν 1 ⋯ Ф мю н ν н .

Все остальные инварианты полиномиальны по Ф могут быть записаны в виде многочленов в указанных выше основных инвариантах.

Таким образом, в четырех измерениях мы имеем Т р Ф 2 "=" Ф мю ν Ф ν мю и ϵ мю ν о р Ф мю ν Ф о р как и ожидалось. В двух измерениях это дает только ϵ мю ν Ф мю ν . В трех измерениях есть только Ф мю ν Ф ν мю .

Каковы фундаментальные инварианты в 1+d1+d1+d тусклом электромагнетизме?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v