Связь фазы Берри и номера обмотки

Есть два типа фаз Берри. Первый тип, где фаза Берри:

$$\phi_B = \int_{\Gamma} \vec{A}_B \cdot d\vec{r}$$ зависит от пути интегрирования $\Gamma$( $\vec{A}_B$связь Берри). В этом случае топология исследуется не самой фазой Берри, а интегралом кривизны Берри $B$над закрытой поверхностью $\Sigma$что является квантованным числом Черна. $$C = \frac{1}{2\pi}\int_{\Sigma} \vec{B} \cdot \hat{n} dS$$

где$\vec{B} = \vec{\nabla} \times \vec{A}$и$\hat{n}$внешний единичный вектор.

Число Черна является числом обмотки, потому что интеграл на связи Берри может быть преобразован в линейный интеграл по функциям перехода связи Берри. Например, когда поверхность$\Sigma$является сферой, то она может быть покрыта двумя координатными пятнами на верхней и нижней полусфере, а связь между связностями Берри на верхней и нижней полусфере является калибровочным преобразованием:

$$\vec{A}_+ = \vec{A}_- + \vec{ \nabla}\phi$$

Тогда по теореме Стокса получаем:

$$C = \frac{1}{2\pi}\int_{\Gamma} \nabla{\phi} \cdot d\vec{r}$$

(На этот раз$\Gamma$это экватор). Последнее уравнение объясняет, почему число Черна является числом обмотки, потому что оно подсчитывает, сколько раз функция$\phi$дует экватор.

однако это не наш случай.

Когда кривизна Берри тождественно равна нулю, связность Берри может быть чистой калибровкой локально, но не глобально. Это происходит, когда чистый поток течет в направлении, перпендикулярном поверхности пути.$\Gamma$, например, в случае эффекта Ааронова-Бома. В этом случае фаза Берри не зависит от формы пути интегрирования$\Gamma$, но может принимать любое значение между$0$и$2 \pi$, так как фаза Берри:

$$\phi_B = \frac{q \Phi}{\hbar c}$$ которым можно управлять по модулю $2 \pi$путем изменения потока. Таким образом, в этом случае фаза Берри становится топологическим инвариантом (независимым от формы траектории), но не за счет ее квантования, а за счет ее периодичности (mod $-2\pi$). Фаза Берри в этом втором случае называется топологической фазой.

Теперь обратите внимание на связь Берри в случае графена:

$$\vec{A}_B \propto \vec{ \nabla}_{\vec{q}}\phi(\vec{q})$$ Связность Берри является локально чистой калибровкой. Таким образом, эта фаза Берри относится ко второму типу (топологическая фаза Берри). Дополнительное явление, которое имеет место здесь, заключается в том, что мы не контролируем поток в импульсном пространстве, он определяется решением (свободного) уравнения Дирака. Этот поток порождает именно фазу Берри $\pm \pi$(в зависимости от группы).

Термин «число вращения» может быть оправдан, поскольку мы интегрируем по градиенту угловой переменной, как в числе Черна. Отличие в том, что в нашем случае интеграл, деленный на$2 \pi$является полуцелым.

Происхождение этой фазы Берри довольно простое. Когда вектор$\vec{q}$вращается на полный оборот, то, как известно, фаза фермионной волновой функции поворачивается только на пол-оборота, и это является причиной половинного числа намотки. Это явление имеет место как в релятивистских, так и в нерелятивистских системах.

Ааронов и Зюскинд первыми предположили, что это явление (вращение$\pi$спинора, когда пространственное вращение$2 \pi$) поддается измерению еще до того, как было открыто понятие фазы Берри. Их предположение было основано на (нерелятивистском) вращении, адиабатически следующем за медленно вращающимся магнитным полем. В этом случае волновая функция также приобретает фазу$\pi$.

В случае графена фаза Берри$\pi$был фактически измерен, как сообщается в следующей работе : Лю, Биан, Миллер и Чанг