Верна ли моя попытка доказать, что фаза Берри квантуется в инверсионно-симметричных системах? Нарушаю ли я калибровочную инвариантность?

Question

Верна ли моя попытка доказать, что фаза Берри квантуется в инверсионно-симметричных системах? Нарушаю ли я калибровочную инвариантность?

физшип

Фаза Берри или Зака задается как

\begin{aligned} γ & "=" \oint_{Б Z} г к А (к) мод 2 π \\ "=" я \oint_{Б Z} г к ⟨ {ты}_{н} (к) | \nabla_{к} {ты}_{н} (к) ⟩ мод 2 π \end{aligned}

$\begin{align*} \gamma & =\oint_\mathrm{BZ}d\mathbf{k}\mathcal{\mathcal{\mathcal{A}}}(\mathbf{k})\ \ \mbox{mod }2\pi\\ & =i\oint_\mathrm{BZ}d\mathbf{k}\langle u_{n}(\mathbf{k})|\nabla_{\mathbf{k}}u_{n}(\mathbf{k})\rangle\ \ \mbox{mod }2\pi\\ \end{align*}$

который может принимать любое значение между $[0,2\pi]$ .

Теперь мы хотим изучить влияние симметрии на эту фазу Берри. Сначала предположим, что наша система имеет только инверсионную симметрию, так что гамильтониан подчиняется

U_{п} ЧАС (к) "=" ЧАС (- к) U_{п}

$U_{p}H(\mathbf{k})=H(-\mathbf{k})U_{p}$

тогда у нас есть

\begin{aligned} U_{п} ЧАС (к) U (к) & "=" Е (к) U_{п} U (к) \\ ЧАС (- к) U_{п} U (к) & "=" Е (к) U_{п} U (к) \\ ЧАС (к) U_{п} U (- к) & "=" Е (- к) U_{п} U (- к) \end{aligned}

$\begin{align*} U_{p}H(\mathbf{k})U(\mathbf{k}) & =E(\mathbf{k})U_{p}U(\mathbf{k})\\ H(-\mathbf{k})U_{p}U(\mathbf{k}) & =E(\mathbf{k})U_{p}U(\mathbf{k})\\ H(\mathbf{k})U_{p}U(-\mathbf{k}) & =E(-\mathbf{k})U_{p}U(-\mathbf{k}) \end{align*}$

такой, что $E(k)=E(-k)$ и $U_{p}U(-\mathbf{k})=e^{i\phi(\mathbf{k})}U(\mathbf{k})$ где $U_{k}$ является векторным представлением $|u(k)\rangle$ . Теперь соединение Берри

\begin{aligned} А (к) & "=" я (U_{п} U (- к) е^{- я ф (к)})^{†} \nabla_{к} е^{- я ф (к)} U_{п} U (- к) \\ "=" я (U (- к))^{†} е^{я ф (к)} \nabla_{к} е^{- я ф (к)} U (- к) \\ "=" - А (- к) + \nabla_{к} ф (к) \end{aligned}

$\begin{align*} \mathcal{A}(\mathbf{k}) & =i(U_{p}U(-\mathbf{k})e^{-i\phi(\mathbf{k})})^{\dagger}\nabla_{\mathbf{k}}e^{-i\phi(\mathbf{k})}U_{P}U(-\mathbf{k})\\ & =i(U(-\mathbf{k}))^{\dagger}e^{i\phi(\mathbf{k})}\nabla_{\mathbf{k}}e^{-i\phi(\mathbf{k})}U(-\mathbf{k})\\ & =-\mathcal{A}(-\mathbf{k})+\nabla_{\mathbf{k}}\phi(\mathbf{k}) \end{align*}$

и фаза Берри для 1d $\mathrm{BZ}$ для простоты

\begin{aligned} γ & "=" \int_{- π}^{π} г к А (к) \\ "=" - \int_{- π}^{π} г к [А (- к) + \nabla_{к} ф (к)] \\ "=" {ф (к) |}_{- π}^{π} - \underset{γ}{\underset{⏟}{\int_{- π}^{π} г к А (к)}} \\ "=" 2 π н - γ \end{aligned}

$\begin{align} \gamma & =\intop_{-\pi}^{\pi}dk\,\mathcal{A}(k)\\ & =-\intop_{-\pi}^{\pi}dk\,[\mathcal{A}(-k)+\nabla_{k}\phi(k)]\\ & =\left.\phi(k)\right|_{-\pi}^{\pi}-\underbrace{\intop_{-\pi}^{\pi}dk\,\mathcal{A}(k)}_{\gamma}\label{eq:-18}\\ & =2\pi n-\gamma\label{eq:-17} \end{align}$

таким образом, у нас есть

\begin{aligned} γ "=" π н \end{aligned}

$\begin{align*} \gamma=\pi n \end{align*}$

с $\gamma$ хорошо определен только до $\mbox{mod }2\pi$ может быть $0$ или $\pi$ при соблюдении последнего условия. Мое подозрение возникает из последнего шага. Фаза Берри должна быть независимой от калибровки, но здесь похоже, что калибровочный член определяет ее значение.

Ответы (1)

Верна ли моя попытка доказать, что фаза Берри квантуется в инверсионно-симметричных системах? Нарушаю ли я калибровочную инвариантность?

Давид Бар Моше · Answer 1

Ваш вывод совершенно правильный. Пожалуйста, обратитесь к Хатсугаю (стр. 16), который выполняет практически те же вычисления, что и вы.

Я объясню здесь, почему, тем не менее, фаза Зака является калибровочно-инвариантной, а значит, допустимой наблюдаемой.

Фаза $\phi(\mathbf{k})$ не является калибровочным преобразованием. Это дополнительная фаза, добавленная к векторам состояния вследствие применения физического оператора оператора обращения времени (который я буду обозначать через $\mathcal{T}$ для ясности). В симметричной системе с обращением времени, как вы написали:

Т | ты (к) ⟩ "=" е^{я ф (к)} | ты (- к) ⟩

$\mathcal{T} | u(\mathbf{k}) \rangle = e^{i\phi(\mathbf{k})} | u(\mathbf{-k}) \rangle$

Функция $e^{i\phi(\mathbf{k})}$ может быть любой истинной функцией в зоне Бриллюэна, имеющей топологию $S^1$ . Таким образом, мы должны иметь:

е^{я ф (π)} "=" е^{я ф (- π)}

$e^{i\phi(\pi)} = e^{i\phi(-\pi)}$ Таким образом

ф (- π) "=" ф (π) + 2 π н

$\phi(\mathbf{-\pi}) = \phi(\mathbf{\pi}) + 2 \pi n$ Это преобразование имеет номер обмотки

n

$n$

\frac{1}{2 π} \int е^{- я ф (к)} г е^{я ф (к)} "=" н

$\frac{1}{2 \pi}\int e^{-i\phi(\mathbf{k})} d e^{i\phi(\mathbf{k})} = n$

В отличие от калибровочного преобразования, $e^{i\phi(\mathbf{k})}$ является большим калибровочным преобразованием. В квантовой механике большие калибровочные преобразования соответствуют физически различным состояниям. Этот вопрос уже обсуждался при обмене стеками физики в прошлом, см. следующие вопросы и ответы: (1) и (2) .

Причина этого в том, что квантовые теории, в которых состояния, связанные большим калибровочным преобразованием, различны, полностью непротиворечивы. В квантовой механике нет необходимости отождествлять эти состояния, в отличие от небольших калибровочных преобразований, которые приводят к ограничениям, от которых мы должны избавиться, чтобы выполнить квантование. На самом деле большие калибровочные преобразования описывают сектора суперотбора, которые объясняют широкий спектр явлений. Например, в эффекте Ааронова-Бома сектора суперотбора соответствуют разным (неквантованным) значениям потока; а для частицы, движущейся по тору с магнитным потоком, секторам суперотбора соответствуют разные квантованные потоки. В обоих случаях волновые функции одинаковы, за исключением фазового фактора, тем не менее они представляют разные системы.

Поэтому для калибровочного преобразования следует выбирать только функции , $e^{i\phi(\mathbf{k})}$ с нулевым номером обмотки, что делает фазометр Зака инвариантным.

Простите меня за один вопрос: $\mathcal{T} | u(\mathbf{k}) \rangle = e^{i\phi(\mathbf{k})} | u(\mathbf{-k}) \rangle$ .Как мы это получим? Кажется, я потерялся, я тоже видел ссылку. Прости меня за мое невежество.
@LK Мы знаем, что операция сопряжения по времени меняет импульс на противоположное, поэтому отображает состояние, индексированное импульсом решетки. $\mathbf{k}$ в состояние, индексированное $-\mathbf{k}$ . Но поскольку мультипликативная фаза не меняет состояния, наиболее общая форма обращенного во времени состояния может иметь вид $e^{i\phi({\mathbf{k}})} |u(-\mathbf{k})\rangle$ . Точная форма $\phi{(\mathbf{k})}$ зависит от гамильтониана, конкретная форма которого может потребовать такой фазы, чтобы быть инвариантным к обращению времени.
продолжение Дело в том, что если номер обмотки этой фазы отличен от нуля, то его нельзя убрать калибровочным преобразованием.
Большое спасибо!! Если я правильно понимаю. $| u(\mathbf{k}) \rangle$ состояния представляют собой обращение времени с точностью до фазового множителя в форме, написанной выше (если и только если $| u(\mathbf{k}) \rangle$ время повернуто вспять)?
@LK Если я правильно тебя понял; Я имел в виду, что версия с обращенным временем $|u(\mathbf{k})\rangle$ является $e^{i\phi{(\mathbf{k}})} |u(-\mathbf{k})\rangle$ , (состояния не равны), и действительно, операция обращения времени действует на состояния, меняя знак импульса и добавляя фазовый множитель.
Извините, что беспокою вас так много. Но должна быть фаза из-за ТР по той причине, что будет иметь значение путь, который мы выберем, чтобы вернуться в состояние, обращенное во времени. Это будет единство, если мы вернемся в исходное состояние $e^{i\phi(\pi)} = e^{i\phi(-\pi)}$ .
@LK Не беспокойтесь; Боюсь, что ввел вас в заблуждение в предыдущем комментарии. В нашем случае мы действительно имеем: $|u(\mathbf{k})\rangle = \mathcal{T} |u(\mathbf{k})\rangle = e^{i\phi{\mathbf{k}}} |u(-\mathbf{k})\rangle$ , потому что речь идет об инвариантной системе обращения времени. Фаза Зака-Берри в вопросе циклична, т.е. мы всегда начинаем с заданного состояния, скажем $|u(\mathbf{k})\rangle$ и мы заканчиваем в том же состоянии.
продолжение Расчет в вопросе был выполнен сначала с исходным состоянием, затем с обращенным временем состоянием, и следствие получается путем приравнивания фаз Zak исходного состояния и обращенного времени состояния.

Верна ли моя попытка доказать, что фаза Берри квантуется в инверсионно-симметричных системах? Нарушаю ли я калибровочную инвариантность?

физшип

Ответы (1)

Давид Бар Моше

ЛК

Давид Бар Моше

Давид Бар Моше

ЛК

Давид Бар Моше

ЛК

Давид Бар Моше

Давид Бар Моше

ЛК

Как получить результат эффекта Ааронова-Бома?

Если фаза Берри определяется по модулю 2π2π2\pi, почему не то же самое (вроде) для числа Черна?

Ограничения инверсионной симметрии кривизны Берри в 2D

Вопрос о существовании точек Дирака в графене?

Член в лагранжевом инварианте относительно SO (n) SO (n) SO (n), но не O (n) O (n) O (n)?

Является ли спин-вращательная симметрия модели Китаева D2D2D_2 или Q8Q8Q_8?

Вывод спин-орбитальной связи Рашбы в модели сильной связи

Вопрос по номеру Черня и номеру обмотки?

Простейшая живая демонстрация адиабатического транспорта

Как кривизна Берри связана с силой прыжка в модели Холдейна?