Вопрос по номеру Черня и номеру обмотки?

Упомянутое вами число Черна — это то, что вы получаете, когда интегрируете конкретную двойную форму по поверхности. Оказывается, эти две формы представляют собой первый класс Черна системы (система в этом случае состоит из пространства параметров и линейного расслоения, описывающего относительную фазу Берри вдоль путей в пространстве параметров). Наиболее важные особенности первого класса Черна заключаются в том, что 1) это топологический инвариант системы и 2) если пространство параметров двумерно, вы можете проинтегрировать его по пространству параметров, чтобы получить число, которое также будет топологический инвариант системы.

Если ваше пространство параметров имеет размерность$d>2$, то вы по-прежнему можете определить первый класс Черна, но теперь вы сможете интегрировать его только по двумерным подпространствам пространства параметров. Он по-прежнему будет измерять число витков, как вы упомянули, но теперь это число витков зависит не только от самой системы, но и от вашего выбора подпространства. По этой причине труднее думать о числах, которые мы получаем, выполняя такого рода интегралы, как о топологических инвариантах системы, хотя они могут иметь и другие полезные интерпретации.

Существуют обобщения этой установки, где вместо измерения абелевой фазы Берри, которая принимает значения в$U(1)$, мы можем измерить неабелевы «фазы» (голономия — лучшее слово), которые принимают значения в более сложных группах Ли, таких как$SU(n)$. Подобное происходит, когда в адиабатической теореме вы удаляете предположение о невырожденности основного состояния. В этих случаях можно определить высшие классы Черна, связанные с системой (в случае абелевых фаз все эти высшие классы исчезают). В то время как первый класс Черна можно было интегрировать по поверхности, второй класс Черна можно интегрировать по четырехмерному многообразию, третий класс Черна — по шестимерному многообразию и так далее. Более того, как и в случае с первым классом Черна, существуют хорошие формулы для форм, представляющих эти классы в терминах аналога кривизны Берри. Если ваше пространство параметров$2d$размерность, а затем интегрирование$d$-й класс Черна над пространством параметров даст вам топологический инвариант системы (для абелева случая, когда$d > 1$этот класс Черна исчезает, так что топологический инвариант не говорит вам ничего полезного).

Другой пример, где появляется второй класс Chern, находится в$SU(2)$Теория Янга-Миллса о$\mathbb{R}^4$, где значение действия на (анти) самодуальную связь измеряет «число оборотов» данного условия затухания на полях. Точнее, если мы требуем связи с распадом (с точностью до калибровочного преобразования) на бесконечности, то это число витков отображения из сферы$S^3\subset \mathbb{R}^4$очень большого радиуса к калибровочной группе$SU(2) \cong S^3$.