Кривизна Берри в идеальном однослойном графене равна нулю?

Question

Кривизна Берри в идеальном однослойном графене равна нулю?

Физика
графен
конденсированное вещество
Берри-панчаратнам-фаза

Том

Я изо всех сил пытаюсь примирить две концепции и понять, равна ли кривизна Берри в графене нулю или отличной от нуля. Следуя ссылке здесь , учитывая общий двухуровневый гамильтониан (уравнение 1.15)

ЧАС "=" о \cdot час

$H=\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{h}$

где $\boldsymbol{\sigma}=(\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z)$ - вектор матриц Паули, кривизна Берри в векторной форме (уравнение 1.20)

Ом "=" \frac{1}{2} \frac{час}{{час}^{3}}

$\boldsymbol{\Omega} = \frac{1}{2}\frac{\mathbf{h}}{h^3}$

Таким образом, оказывается, что низкоэнергетический гамильтониан графена $H=\sigma_x k_x + \sigma_y k_y$ должно быть ненулевым и $\mathbf{k}$ -зависимый, на самом деле это не так $\boldsymbol{\Omega} = \mathbf{k}/2k^3$ ?

Однако в той же ссылке (уравнение 3.22) далее говорится, что в графене (тот же гамильтониан, что и выше) «кривизна Берри обращается в нуль везде, кроме точек Дирака, где она расходится», т.е. она равна нулю почти везде. Эти два утверждения кажутся противоречивыми. Я был бы признателен за помощь в понимании того, что я неправильно понимаю здесь.

Ответы (1)

Кривизна Берри в идеальном однослойном графене равна нулю?

Эверетт Ю · Answer 1

Точное утверждение должно быть:

Третья компонента кривизны Берри $\Omega_3=\boldsymbol{\Omega}\cdot\boldsymbol{e}_3$ обращается в нуль везде, кроме точек Дирака, где он не определен четко (расходящийся).

Почему нам нужно заботиться о третьем компоненте кривизны Берри? Потому что это единственная составляющая, вносящая вклад в число Черна. $C$ двумерной зонной структуры

С "=" \frac{1}{2 π} \int_{БЖ} г^{2} к {Ом}_{3} (к) .

$C=\frac{1}{2\pi}\int_\text{BZ}\mathrm{d}^2\boldsymbol{k}\; \Omega_3(\boldsymbol{k}).$ Поэтому

Ω_{3}

$\Omega_3$ также называется плотностью потока Берри или плотностью Черна. Кривизна Берри вблизи точки Дирака действительно определяется выражением

Ω = k / 2 k^{3}

$\boldsymbol{\Omega}=\boldsymbol{k}/2k^3$ , который не равен нулю. Но поскольку импульс

k = (k_{x}, k_{y}, 0)

$\boldsymbol{k}=(k_x,k_y,0)$ лежит в

x y

$xy$ -плоскость и не имеет третьей компоненты, поэтому плотность потока Берри

Ω_{3}

$\Omega_3$ исчезает везде, кроме начала координат.

Чтобы увидеть, что происходит в начале координат, нам нужно упорядочить задачу с малой массой. Учитывать

ЧАС "=" к_{Икс} о^{Икс} + к_{у} о^{у} + м о^{г} .

$H=k_x\sigma^x+k_y\sigma^y+m\sigma^z.$ Один находит

{Ом}_{3} (к) "=" \frac{м}{2 (к^{2} + м^{2})^{3 / 2}} .

$\Omega_3(\boldsymbol{k})=\frac{m}{2(\boldsymbol{k}^2+m^2)^{3/2}}.$ Как

m \to 0

$m\to0$ , можно видеть, что

Ω_{3} \sim m / k^{3} \to 0

$\Omega_3\sim m/k^3\to0$ исчезает везде (пока

k \neq 0

$k\neq0$ ). Но в точке Дирака, где

k = 0

$k=0$ ,

Ω_{3} \sim \pm 1 / m^{2} \to \pm \infty

$\Omega_3\sim \pm1/m^2\to\pm\infty$ расходится либо

+ \infty

$+\infty$ или

- \infty

$-\infty$ в зависимости от знака массы

m

$m$ . В этом случае, поскольку ширина запрещенной зоны исчезает, число Черна определено нечетко, поэтому обычно также не имеет смысла говорить о плотности потока Берри в точке Дирака.

Почему вы говорите, что кривизна Берри $\boldsymbol \Omega = \boldsymbol k/2k^3$ и не $\boldsymbol \Omega = 0$ ?
@RubenVerresen Потому что третье направление $\boldsymbol{k}$ это масса Дирака $m$ , т.е. $\boldsymbol{k}=(k_x,k_y,m)$ . Это также формула кривизны Берри вокруг точки Уайла.
Спасибо за ответ, но я имел в виду ваше заявление выше, где вы обсуждаете дело $m=0$ и говорят, что кривизна Берри отлична от нуля (но $\Omega_3 = 0$ ).
@RubenVerresen Вспомните формулу электрического статического поля вокруг точечного заряда. $\boldsymbol{E}\propto\boldsymbol{r}/r^3$ . я просто заменяю $\boldsymbol{E}$ к $\boldsymbol{\Omega}$ и $\boldsymbol{r}$ к $\boldsymbol{k}$ . Причина, по которой я это делаю, заключается в том, что кривизна Берри испускается магнитным монополем в $\boldsymbol{k}=(k_x, k_y,m)$ пространстве, а монополь находится в начале координат. Эта формула справедлива для обоих $m=0$ и $m\neq 0$ . $m=0$ просто означает, что BZ (как 2D-плоскость) пересекает монополь, поэтому $\Omega_3=0$ но $\Omega_{1,2}$ до сих пор не исчезает.
О, я вижу, что ты делаешь! Если вместо этого работать напрямую с двумерным импульсным пространством, то получается $\boldsymbol \Omega = 0$ . Вот это меня смутило.
@RubenVerresen Да, если кто-то работает напрямую в двумерном импульсном пространстве, только $\Omega_3$ можно определить, и действительно $\Omega_3=0$ как указано в ответе. $\Omega_{1,2}$ нельзя определить без обращения к 3-му направлению, т.е. направлению $m$ .

Кривизна Берри в идеальном однослойном графене равна нулю?

Том

Ответы (1)

Эверетт Ю

Рубен Верресен

Эверетт Ю

Рубен Верресен

Эверетт Ю

Рубен Верресен

Эверетт Ю

Связь между фазой Берри и вырождениями на примере эффекта Холла в графене

Если фаза Берри определяется по модулю 2π2π2\pi, почему не то же самое (вроде) для числа Черна?

Как понять множественные полосы, полученные для кристаллов с несколькими атомами на элементарную ячейку, таких как графен?

валентные зоны в графене

Ограничения инверсионной симметрии кривизны Берри в 2D

Оператор тока в континуальной модели графена

Как написать гамильтониан BdG в графене?

Аргументы симметрии для физики долины в графене с нарушенной инверсией

Инверсионные точки симметрии графена

Как получить результат эффекта Ааронова-Бома?