Несколько месяцев назад я узнал, что параллельный перенос или ковариантная производная вектора вдоль замкнутой петли на римановом многообразии просто вызывают «вращение» вектора на некоторый угол, но не изменяют его величину (при условии отсутствия кручения). Теперь я уже знаю немного больше о группе лжи SO (2 или 3) и их алгебрах, когда я имею дело с твердым телом, и это всегда связано с вращением векторов. Мой вопрос заключается в том, что если параллельный транспорт или ковариантная производная просто вызывает «вращение» вектора, когда он движется, Как я могу выразить этот параллельный перенос или ковариантную производную в терминах только SO (2 или 3), действующего на вектор на 2- или трехмерном многообразии Реймана как ковариантную производную. иметь дело только с «вращением» вектора, когда он движется по коллектору?
Для каждой точки и замкнутого контура вокруг точки, параллельный транспорт вокруг сопоставляет каждый касательный вектор этой точки с касательным вектором той же точки. В случае связи Леви-Чивиты это отображение касательного пространства к самому себе, как вы сказали, является элементом SO(N).
Чтобы вычислить эту карту (называемую Голономией) явно, вам нужно будет решить ОДУ параллельного транспорта со всеми начальными условиями . Это линейная ОДА, и вы получите, что карта в .
Qмеханик
Синай Симсон
Синай Симсон