Связь между соединением и материальной производной

Пусть дано$n$-мерное многообразие $(M,\nabla)$наделен связью $\nabla$. [В частности, мы не предполагаем, что многообразие$M$снабжен метрическим тензором.] Пусть дана кривая$\gamma:\mathbb{R}\to M$. Здесь читатель должен подумать о$\mathbb{R}$и$M$как время и пространство соответственно.

1. Если$f: M\times \mathbb{R}\to \mathbb{R}$является скаляром, зависящим от времени, на$M$, то материальная/полная производная равна

   $$\tag{1} d_t f = \partial_t f + \dot{\gamma}^i \partial_i f.$$ В частности, материальная/полная производная$d_t f$скаляра$f$не зависит от связи$\nabla$.

2. Если$V$— зависящее от времени векторное поле на$M$, то материальная/полная производная равна

   $$\tag{2} d_t V = \partial_t V + \dot{\gamma}^i \nabla_i V.$$

ПРИМЕЧАНИЕ ДОБАВЛЕНО. Когда я ответил на вопрос, я совершенно неправильно его истолковал. Я думал, что это связано со связью и ковариантной производной, используемой в общей теории относительности. Это совсем не так. Я решил все равно оставить ответ, потому что, возможно, кто-то с такой же интерпретацией, как у меня, будет направлен сюда поисковыми системами, как и я. Далее следует мой первоначальный ответ, который начинается с совершенно неверной, но интересной интерпретации вопроса.

ОП задал три вопроса. Во-первых, он спросил, имеет ли смысл говорить, что ковариантная производная по четырем скоростям$\mathbf{u}$является материальной производной. Во-вторых, он спросил, полезны ли такие отношения. В-третьих, учитывая, что ковариантная производная является особым видом связи, он спросил, сохраняется ли эта связь и полезна ли она для других форм связей.

Ответ на первый вопрос заключается в том, что ковариантная производная по направлению 4-скорости (т.е.$\mathbf{u}^{\alpha}\nabla_{\alpha}$, где$\mathbf{u}$- четырехкратная скорость частицы или жидкого элемента и$\nabla$— ковариантная производная) — это обобщение материальной производной в искривленном пространстве-времени.

Мы не можем сказать, что эта ковариантная производная (по направлению скорости) является материальной производной. Аналогичная ситуация с релятивистской четырехскоростной. Мы не можем сказать, что обычная скорость — это то же самое, что и релятивистская четырехскоростность, но правильно сказать, что релятивистская четырехскоростность есть обобщение обычной скорости.

Давайте посмотрим, как ковариантная производная по направлению скорости сводится к материальной производной, когда мы находимся в инерциальной системе отсчета и в пределе малых скоростей. Во-первых, в инерциальной системе отсчета ковариантная производная сводится к обычной частной производной. Итак, в инерциальной системе отсчета имеем

$$\mathbf{u}^{\alpha}\nabla_{\alpha} = \mathbf{u}^{\alpha}\partial_{\alpha}.$$

Обратите внимание, что$\nabla_i$, где$i$является одним из компонентов$x$,$y$или$z$часто используется для обозначения обычной частной производной, но мы предпочитаем использовать$\partial_i$для обозначения частной производной, чтобы избежать путаницы с ковариантной производной. Они идентичны только в инерциальной системе координат.

Во-вторых, четырехскоростная (которая, по определению, по длине$-1$в метрике Минсковского)

$$\mathbf{u} = \frac{(1, v^x, v^y, v^z)}{(1 - v^2)^{1/2}},$$ где мы использовали такие единицы измерения, что скорость света равна$c = 1$. В качестве скобок мы видим, что в пределе малых скоростей$v \approx 0$, у нас есть$\gamma = (1 - v^2)^{-1/2} \approx 1$и пространственная составляющая$\gamma (v^x, v^y, v^z)$4-скорость близка к обычной скорости. Теперь покажем, что аналогичным образом$\mathbf{u}^{\alpha}\partial_{\alpha}$сводится к материальной производной в пределе низких скоростей. Мы используем это $$v^x = \frac{dx}{dt}, \ \ v^y = \frac{dy}{dt}, \ \ v^z = \frac{dz}{dt}.$$ В пределе низкой скорости$v \approx 0$, мы принимаем$(1 - v^2)^{1/2} \approx 1$и, игнорируя небольшой вклад высших членов в$v$, мы получаем $$\mathbf{u}^{\alpha}\partial_{\alpha} = \partial_t + \frac{dx}{dt} \partial_x + \frac{dy}{dt} \partial_y + \frac{dz}{dt} \partial_z,$$ что является определением материальной производной.

Что касается второго вопроса, эта связь между ковариантной производной и материальной производной, среди прочего, полезна для того, чтобы увидеть, как уравнение сохранения

$$\nabla_\mu T^{\mu\nu} = 0$$ общей теории относительности, где$T$— тензор энергии-импульса, относится к стандартным уравнениям ньютоновской гидродинамики. Мы используем принцип, что законы должны оставаться теми же при изменении системы координат и что мы всегда можем найти систему координат, которая является локально инерциальной. Например, это полезно для получения типичных уравнений Эйлера при адекватных предположениях. Для сохранения энергетической составляющей в инерциальной системе отсчета возьмем проекцию на четырехскоростную$\mathbf{u}$чтобы получить времениподобную составляющую уравнения ОТО, а затем взять предел низкой скорости. Подробности см. в разделе «Релятивистская гидродинамика» http://mathreview.uwaterloo.ca/archive/voli/2/ , разделы 2.1 и 3.3.

Что касается третьего вопроса, я не уверен, но кажется, что та же самая стратегия, которую мы использовали, чтобы связать уравнения ОТО с уравнениями Ньютона, может быть применима в общем случае. В случае связи Леви-Чивиты стратегия основана на постулируемом принципе, что законы одинаковы в любой системе координат. Скорее всего, нам потребуется расширение этого принципа. Что-то думать о. Я не уверен. Мне также не ясно, что такой уровень общности имеет физический смысл.