Связь между прицельным параметром и расстоянием наибольшего сближения светового луча в геодезических исследованиях Шварцшильда

Отношение между$b$и$r_0$для метрики Шварцшильда:

$$b = \frac{r_0}{\sqrt{1 - \tfrac{r_s}{r0}}}$$

где$r_s$- радиус горизонта событий. Подробности см. в этой статье .

Уравнения, приведенные в двух статьях, получены в пределе слабого поля, т.е.$r \gg r_s$так$b \approx r_0$в любом случае, и это не имеет никакого значения, что вы используете. Если бы я писал статью, я бы описал$b$как параметр воздействия , а не расстояние ближайшего сближения , но я не чувствую этого достаточно сильно, чтобы хотеть редактировать оскорбительную статью в Википедии.

Количество$b$в этих уравнениях является прицельным параметром и определяется как$L/E$(в единицах, где$c=1$). Называется так, потому что$L/E$это перпендикулярное расстояние между траекторией фотона в$r \gg r_s$и радиальная линия, проходящая через начало координат, где фотон имеет линейный импульс$E$и угловой момент$bE$.

Чтобы увидеть, как это соотносится с ближайшим подходом, лучше написать уравнение для координатной скорости света как

$$\frac{dr}{dt} = \pm \frac{b}{r_s} \left(1- \frac{r_s}{r}\right)\left[ \left(\frac{r_s}{b}\right)^2 - \left(1 - \frac{r_s}{r}\right)\frac{r_s^2}{r^2}\, \right]^{1/2}\ .$$

«Поворотные точки» — это когда правая часть равна нулю. Один из них, когда$r=r_s$, потому что свет не может пересечь горизонт событий в координатах Шварцшильда. Приравнивание содержимого квадратных скобок к нулю дает кубическое уравнение в$r$которые определяют расположение любых других возможных поворотных точек

$$r_{0}^3 - b^2 r_{0} + b^2 r_s = 0\ .$$

Если вас интересует свет, идущий от$r \gg r_s$с$dr/dt<0$то это наибольший из трех возможных корней, причем$r_0 \geq 3r_s/2$, что представляет интерес (средний соответствует свету, идущему наружу от$r < 3r_s/2$, изначально с$dr/dt>0$, а затем падение назад; наименьший корень нефизичен). Реальные корни с$r_0 > r_s$существуют только для$b \geq 3\sqrt{3}r_s/2$. Меньше$b$значения означают, что$dr/dt$всегда отрицательно, пока$r \rightarrow r_s$.

Приведенное выше кубическое уравнение также можно преобразовать, чтобы получить$b$как функция$r_{0}$:

$$b = \pm \frac{r_{0}}{\sqrt{1 - r_s/r_{0}}}\ .$$ Знаки плюс и минус здесь можно интерпретировать как орбиты по часовой стрелке или против часовой стрелки.

Когда$r_{0} \gg r_s$тогда вы можете видеть, что$b \simeq \pm r_{0}$и было бы нормально использовать$b$и$r_0$взаимозаменяемы в этих обстоятельствах (например, отклонение света от звезд вокруг края Солнца, где$R_\odot \gg r_s$).