Почему демпфирующая сила, действующая на колебательную систему, направлена ​​против направления скорости, а не ускорения?

Уравнения движения для положения определяют ускорения: это дифференциальные уравнения второго порядка по времени:

$$\vec F = m\vec a = m\ddot{\vec x }$$ Таким образом, ускорение, вторая производная местоположения во времени, должно каким-то образом определяться из состояния физической системы. Как правило, он определяется с помощью $F=ma$формула выше: ускорение - это общая сила, деленная на массу.

Чтобы этот закон фактически подразумевал некоторую траекторию, сила должна быть вычислима на основе текущих свойств частицы. Но свойства включают только местоположение и его производную, скорость. Они не включают само ускорение, которое мы и хотим рассчитать.

Если бы сила была определена как функция ускорения, мы получили бы странное самообращающееся уравнение$a=f(a,\dots)$. Если бы не было другой силы, зависящей от положения или скорости, решением этого уравнения было бы «универсальное» значение ускорения, очень странная ситуация.

Таким образом, силы могут зависеть только от местоположения и их первых производных, скоростей.

В частности, силы трения обычно параллельны скоростям и действуют в противоположном направлении.$-\epsilon\cdot \vec v$это наилучшее направление, в котором следует изменить скорость в$dt$, т. е. наилучшее направление силы и ускорения, при котором достигается одинаковое уменьшение кинетической энергии при минимальном значении$|\Delta \vec v|$.

В качестве альтернативы можно сказать, что$\vec v$- единственное направление, которое может иметь сила, если законы трансляционно инвариантны. Это условие подразумевает независимость силы от$\vec x$. Скорость — это единственное, от чего может зависеть сила, а вращательная симметрия подразумевает пропорциональность скорости. Коэффициент отрицательный, потому что по второму закону кинетическая энергия должна рассеиваться, а не концентрироваться.

Можно также получить силу микроскопически. Представьте себе газ с множеством частиц со случайными скоростями. Какова общая сила, с которой эти атомы действуют на твердое тело? Силы от атомов почти компенсируются, но атомы, ударяющиеся спереди, в направлении скорости, встречаются немного чаще и имеют немного более высокую относительную скорость, чем атомы в противоположном направлении. Поэтому они немного преобладают, делая$\vec a\sim -\vec v$.