Температура газа на выходе из трубы

Хотя эту проблему трудно смоделировать, простой сосредоточенный термический анализ может дать некоторое понимание и приблизительное решение.

Течение вещества по трубе будем считать поршневым и исследуем температуру элемента малой массы.$dx$путешествие по трубе.

Используя закон охлаждения/нагрева Ньютона и учитывая только конвективные потери тепла , мы можем написать:

$$\frac{dQ}{dt}=u(T-T_{\infty})dA,$$

где LHS — тепловой поток, выходящий из элемента,$u$общий коэффициент теплопередачи ,$dA$площадь поверхности элемента,$T$его температура и$T_{\infty}$температура окружающей среды. Немного развивая, получаем:

$$\frac{dQ}{dt}=\pi Du(T-T_{\infty})dx,\tag{1}$$

где$D$наружный диаметр трубы.

Поскольку элемент потерял тепло:

$$dQ=-dmc_pdT$$

$c_p$- теплоемкость газа. Разделив обе части на$dt$и с$\dot{m}=\frac{dm}{dt}$дает:

$$\frac{dQ}{dt}=-\dot{m}c_pdT,\tag{2}$$

где$\dot{m}$массовый расход газа.

Использование личности$(1)=(2)$, получим простое дифференциальное уравнение:

$$-\dot{m}c_pdT=\pi Du(T-T_{\infty})dx$$

$$\frac{dT}{T-T_{\infty}}=-\frac{\pi Du}{\dot{m}c_p}dx=-\alpha dx,\tag{3}$$

где:

$$\alpha=\frac{\pi Du}{\dot{m}c_p}$$

Интеграция$(3)$между$0, T_1$и$L, T_2$дает:

$$\ln\frac{T_2-T_{\infty}}{T_1-T_{\infty}}=-\alpha L,\tag{4}$$

где$T_1$и$T_2$- входная и выходная температуры газа, соответственно, и$L$это длина трубы. От$(4)$,$T_2$можно легко извлечь.

Общий коэффициент теплопередачи$u$можно оценить из:

$$\frac1u\approx\frac{1}{h_1}+\frac{\theta}{k}+\frac{1}{h_2},$$

где$h_1$- коэффициент конвекционной теплопередачи газ/слюда,$k$теплопроводность слюды,$\theta$толщина стенки и$h_2$– коэффициент конвективной теплопередачи слюда/воздух.

Ограничения модели:

При высокой температуре конвекция — не единственный способ потери тепла: важную роль будут играть и потери на излучение. Это можно исправить, добавив функцию радиационных потерь тепла.$(1)$. Для Стефана-Больцмана функция потерь будет:

$$\sigma\epsilon(T^4-T^4_{\infty})dA$$

Во-вторых, предположить, что поршневой поток в случае жидкости с низкой вязкостью, такой как горячий газ, не очень реалистично. Однако предположение о ламинарном потоке требует гораздо более сложного математического подхода.

Численная оценка:

$(4)$переделывает:

$$T_2=T_{\infty}+(T_1-T_{\infty})e^{-\alpha L}$$

Оценить$\alpha$, Я использовал:

$u\approx 17\:\mathrm{Wm^{-1}K^{-1}}$, на основе данных ОП и литературных значений.

$c_p=1000\:\mathrm{Jkg^{-1}K^{-1}}$

$\dot{m}=0.000009\:\mathrm{kg/s}$

$D=0.010\:\mathrm{m}$

Что дает оценку$\alpha\approx 70\:\mathrm{m^{-1}}$.

С$T_1=1100\:\mathrm{C}$и$T_{\infty}=20\:\mathrm{C}$, с$L=1\:\mathrm{m}$, Я получил:

$$T_2\approx 20\:\mathrm{C}$$

Так закончилось$1\:\mathrm{m}$, то газ полностью остынет.

Для других длин труб$x$, оценить как:

$$T_2=20+1080e^{-70x}$$