Температура Хокинга для данной метрики

Эффект Хокинга — это эффект, связанный с пространством-временем черных дыр. Поскольку каждая стационарная черная дыра, решение уравнений Эйнштейна-Максвелла, по сути, является вращающейся заряженной черной дырой из-за теорем об отсутствии волос, а предоставленная вами метрика не является метрикой вращающейся заряженной черной дыры, она не характеризует черную дыру в рамках обычного понятия общей теории относительности. Следовательно, я предполагаю, что ваш вопрос относится к вычислению температуры, связанной с эффектом Унру., что также является влиянием на температуру из-за квантовых эффектов в неинерциальных системах отсчета. Эту температуру часто называют температурой Хокинга. Кроме того, основное различие между эффектами для целей этого вопроса состоит в том, что в эффекте Хокинга «частицы» кажутся исходящими из области черной дыры, тогда как в эффекте Унру они приходят отовсюду. Когда человек находится близко к черной дыре, эффект Хокинга можно аппроксимировать эффектом Унру.

Эффект Унру возникает в пространстве-времени, обладающем так называемым раздвоенным горизонтом Киллинга. Короче говоря, горизонт Киллинга — это нулевая поверхность, ортогональная полю Киллинга (например, горизонт событий черной дыры Шварцшильда), а раздвоенный горизонт Киллинга — это пара таких поверхностей, пересекающих одна другую (например, будущее и прошлые горизонты событий черной дыры Шварцшильда). В пространстве-времени с такой структурой наблюдатели, следующие за орбитами поля Киллинга, порождающего раздвоенный горизонт Киллинга, воспринимают вакуум (а именно уникальное киллинг-инвариантное, несингулярное состояние квантового поля) как тепловое состояние с заданной температурой коэффициент доплеровского сдвига по температуре Хокинга

$$T = \frac{\kappa}{2\pi},$$ где$\kappa$так называемая поверхностная гравитация горизонта Киллинга. Следовательно, все, что вам нужно сделать, чтобы вычислить температуру Хокинга, — это вычислить поверхностную гравитацию.

Эта тема освещена во многих учебниках по теории относительности. Подробности упомянутого мною эффекта Унру можно найти в гл. 5 квантовой теории поля Вальда в искривленном пространстве-времени и термодинамике черных дыр, и уравнение, которое я написал выше, соответствует уравнению Вальда. (5.3.2). Дополнительные сведения о поверхностной гравитации можно найти в книге Уолда по QFTCS и термодинамике ЧД или, в качестве дополнительных примеров, в книге Пуассона «Инструментарий релятивиста» или в гл. 12 общей теории относительности Вальда .

Предполагая, что это пространство-время имеет раздвоенный горизонт Киллинга (я не пытался это доказать или опровергнуть), я набросаю схему вычисления поверхностной гравитации с помощью уравнения Вальда. (12.5.18) (книга GR), но я не буду описывать все подробности, так как это также противоречит политике сайта. Соответствующие выражения

$$V \equiv \sqrt{- \chi^a \chi_a},$$ $$a^c = \frac{\chi^b \nabla_b \chi^c}{- \chi^a \chi_a}, \tag{12.5.17}$$ $$\kappa = \lim_{r \to l} (a V), \tag{12.5.18}$$ где я указал (12.5.18) для нашей конкретной ситуации, и каждый определяет$a = \sqrt{a^c a_c}$. Статическое поле Killing$\chi^a = \left(\frac{\partial}{\partial t}\right)^a$, и, следовательно, предоставленная метрика приводит к $$V = \sqrt{1 - \frac{r^2}{l^2}}.$$

Простой способ вычисления$a^c$замечает, что уравнение Киллинга позволяет нам написать

$$a^c = \frac{\nabla^c V^2}{2 V^2},$$ из чего следует, что $$a_c = - \frac{r}{V^2 l^2} (\textrm{d}r)_c,$$ и, следовательно, можно вычислить $$a_c a^c = \frac{r^2}{V^2 l^4}.$$

Собрав все воедино, находим

$$\kappa = \lim_{r \to l} \frac{r}{l^2} = \frac{1}{l}.$$

Это согласуется с точностью до знака с уравнением Пуассона. (5.39). Я полагаю, что расхождение связано с тем, что формула Пуассона предполагает, что поле Киллинга является времениподобным на бесконечности, в то время как для этой конкретной метрики оно пространственноподобно на бесконечности.

Для полноты в этих обозначениях температура, измеренная любым локальным наблюдателем, будет (уравнение Вальда QFTCS (5.3.3))

$$T = \frac{\kappa}{2\pi V}.$$