Почему такая вероятность того, что входящий волновой пакет будет поглощен черной дырой?

Этот аргумент с участием$\Gamma(\omega)$так как при наивном подходе для получения излучения Хокинга обычно сбрасывают эффективный потенциал. Поясню это утверждение:

В искривленном пространстве-времени лагранжиан свободного безмассового скалярного поля имеет вид:

$$\begin{equation} \mathcal{L}=\frac{1}{2}g^{\mu\nu} \partial_\mu\phi\,\partial_\nu \phi \end{equation}$$ где метрика$g^{\mu\nu}$является решением уравнений Эйнштейна: $$G_{\mu\nu}=8\pi G\,T_{\mu\nu}$$ в пространстве-времени с источником$T_{\mu\nu}$.

Теперь, используя уравнения Эйлера-Лагранжа, вы можете записать уравнения движения, которые гласят:

$$\hat{\square}\phi=0$$ где$\hat{\square}$является оператором Лапласа-Бельтрами: $$\frac{1}{\sqrt{g}}\partial_\mu (\sqrt{g}\,g^{\mu\nu}\partial_\nu)$$ с$g=det(g_{\mu\nu})$.

Если теперь вы рассмотрите метрику Шварцшильда, заданную

$$ds^2=(1-\frac{2m}{r})dt^2-\frac{dr^2}{1-\frac{2m}{r}}-r^2d\Omega^2$$ Поскольку мы находимся в сферически-симметричном пространстве-времени, мы можем разложить поле по сферическим гармоникам: $$\phi=\sum_{l,m}\frac{F(r,t)}{r}Y_l^m(\theta,\phi)$$ А теперь, подставив это разложение в уравнение движения и учитывая радиальную часть, вы получите (после некоторых алгебраических действий): $$\left(\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\frac{\partial^2}{\partial {r^*}^2}+V_l\right)F_l(r,t)=0$$ с эффективным потенциалом$V_l=(1-\frac{2m}{r})(\frac{2m}{r^3}+\frac{l(l+1)}{r^2})$.

В первом приближении можно отбросить$V_l$срок, сказав, что ваше решение будет действительным в$r\to\infty$области (асимпотические области). То, что вы найдете, — это среднее значение частицы, заданное планковским распределением на позднем времени:

$$\langle in|N^R_\omega|in\rangle=\frac{1}{e^{8\pi m\omega}-1}$$ (где$N^R_\omega={a^R_\omega}^\dagger a^R_\omega$, при этом операторы рождения и уничтожения относятся к модам$u^R_\omega\sim e^{-i\omega u}$и с$u=t-r^*$, одна из нулевых координат в двойном нулевом расширении метрики Шварцшильда).

Это значение явно расходится для$\omega\to 0$, и это понятно, так как мы сбросили эффективный потенциал, который экранировал бы моды, допущенные к бесконечности. Если вы рассматриваете эффективный потенциал, то уравнение движения, очевидно, изменится, и вы можете сказать, что будут какие-то Передаваемые моды (Т-моды) и какие-то Отраженные моды (R-моды) потенциалом. Поскольку мы рассматриваем режимы$\sim e^{-i\omega u}$, которые направлены через будущую нулевую бесконечность$\mathcal{I^+}$(на диаграмме Пенроуза) к этому придут только Т-моды.$\mathcal{I}^+$, так как R-моды будут отражаться потенциалом в Черную Дыру. Таким образом, путем асимптотического анализа можно вычислить это$T$и$R$вероятность, и вы обнаружите, что:

$$|T|^2\simeq 16m^2\omega^2\sim A_H\omega^2\;\;\;\; \text{with }A_H\text{ the horizon surface area}$$ (и$|R^2|=1-|T^2|$).

Тогда ваше планковское распределение станет:

$$\langle in|N^R_\omega|in\rangle=\frac{|T|^2}{e^{8\pi m\omega}-1}=\frac{\Gamma(\omega)}{e^{8\pi m\omega}-1}$$ и это правильно, так как низкие моды экранируются этим$\Gamma$.

Однако в вашей ссылке Паркер рассматривает режимы$\sim e^{-i\omega v}$, с$v=t+r^*$, другую нулевую координату двойного нулевого расширения метрики Шварцшильда, то у вас есть моды, которые уйдут в бесконечность, будут теми, которые отражаются потенциалом, и, выполняя тот же анализ, который я сделал, вы придет к такому же выводу.