Упрощающий эффект скрытой симметрии Вейля в КТП на искривленное пространство-время

Question

Упрощающий эффект скрытой симметрии Вейля в КТП на искривленное пространство-время

сила тяжести
Физика
масштабная инвариантность
квантовая теория поля
qft-в-искривленном-пространстве-времени
анти-де-ситтер-пространство-время

физик

Мы рассматриваем рекламу $_{d+1}$ в координатах Пуанкаре:

д с^{2} "=" \frac{1}{г^{2}} (- д т^{2} + д г^{2} + д {Икс}_{д - 1}^{2}),

$ds^2=\frac{1}{z^2}\left(-dt^2+dz^2+dx_{d-1}^2\right),$ где мы устанавливаем радиус AdS равным единице. Мы изучаем скаляр на этом фоне с действием

С "=" - \frac{1}{2} \int д^{г + 1} Икс \sqrt{- г} (\partial_{мю} ф \partial^{мю} ф + м^{2} ф^{2}) .

$S=-\frac{1}{2}\int d^{d+1}x\,\sqrt{-g}\left(\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi+m^2\phi^2\right).$ Я хочу понять следующее утверждение:

Для $m^2=-\frac{(d-1)(d+1)}{4}$ , в действии присутствует скрытая симметрия Вейля , которая упрощает форму скалярных корреляторов в вакуумном состоянии.

Что мне удалось показать, так это следующее: если мы рассмотрим скаляр с другим действием

С "=" - \frac{1}{2} \int д^{г + 1} Икс \sqrt{- г} (\partial_{мю} ф \partial^{мю} ф + \frac{д - 1}{4 д} р ф^{2}) .

$S=-\frac{1}{2}\int d^{d+1}x\,\sqrt{-g}\left(\partial_\mu \phi \partial^\mu \phi+ \frac{d-1}{4d}R\phi^2\right).$ т.е. со связью со скалярной кривизной вместо массового члена, то это действие действительно инвариантно относительно преобразований Вейля

\begin{aligned} г_{мю ν} & \to {Ом}^{2} г_{мю ν}, \\ ф & \to {Ом}^{\frac{1 - д}{2}} ф, \end{aligned}

$\begin{align} g_{\mu\nu} &\to \Omega^2 g_{\mu\nu}, \\ \phi &\to \Omega^{\frac{1-d}{2}}\phi, \end{align}$ с пространственно-временной зависимостью

Ω = Ω (x)

$\Omega=\Omega(x)$ .

Для рекламы $_{d+1}$ скаляр Риччи $R=-d(d+1)$ , поэтому с нединамическим фоном AdS можно переписать действие как

С "=" - \frac{1}{2} \int д^{г + 1} Икс \sqrt{- г} (\partial_{мю} ф \partial^{мю} ф - \frac{(д - 1) (д + 1)}{4} ф^{2}),

$S=-\frac{1}{2}\int d^{d+1}x\,\sqrt{-g}\left(\partial_\mu \phi \partial^\mu \phi- \frac{(d-1)(d+1)}{4}\phi^2\right),$ поэтому можно найти массивный скаляр с

m^{2} = - \frac{(d - 1) (d + 1)}{4}

$m^2=-\frac{(d-1)(d+1)}{4}$ .

Теперь, когда гравитация не является динамической и скаляр Риччи больше не является явным в действии, как эта симметрия Вейля гравитационной теории влияет на скалярную теорию?
Приводит ли скрытая симметрия Вейля к конформной симметрии скалярной теории?

Qмеханик

Заявление взято из какой ссылки?

физик

Я наткнулся на утверждение на странице 18 этой статьи , прямо в начале раздела 6.2. Авторы ссылаются на Биррела и Дэвиса, но я пытался разобраться сам, так как у меня нет доступа в данный момент.

Ответы (2)

Упрощающий эффект скрытой симметрии Вейля в КТП на искривленное пространство-время

Я наткнулся на утверждение на странице 18 этой статьи , прямо в начале раздела 6.2. Авторы ссылаются на Биррела и Дэвиса, но я пытался разобраться сам, так как у меня нет доступа в данный момент.

физик · Answer 1

Результат:

Следующие два факта можно использовать, чтобы доказать, что скалярный коррелятор упрощается в описанном выше частном случае.

Когда скалярное действие инвариантно по Вейлю, скалярное уравнение движения ковариантно, и мы можем использовать преобразование Вейля для упрощения уравнения.
Существует преобразование Вейля, переводящее AdS в верхнюю полуплоскость плоского пространства Минковского. Коррелятор в плоском пространстве можно легко вычислить, а результат можно преобразовать обратно в AdS, используя обратное преобразование Вейля, описанное выше.

Подробнее:

В частном случае $m^2=-\frac{(d-1)(d+1)}{4}$ скалярное действие в инварианте Вейля, т.е.

\begin{aligned} г_{мю ν} & \to {Ом}^{2} г_{мю ν}, \\ ф & \to {Ом}^{\frac{1 - д}{2}} ф, \end{aligned}

$\begin{align} g_{\mu\nu} &\to \Omega^2 g_{\mu\nu}, \\ \phi &\to \Omega^{\frac{1-d}{2}}\phi, \end{align}$ и уравнение движения

(◻ - \frac{д - 1}{4 д} р) ф "=" 0

$\left(\Box-\frac{d-1}{4d}R\right)\phi=0$ является ковариантным.

Для $\Omega=z$ , преобразованная метрика $z^2g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}$ , квартира $(d+1)$ размерная метрика Минковского. Определение масштабируемого поля $\varphi=z^{\frac{1-d}{2}}\phi$ , уравнение движения принимает вид

0 "=" η^{мю ν} \partial_{мю} \partial_{ν} ф "=" (- \partial_{т}^{2} + {\vec{\nabla}}^{2} + \partial_{г}^{2}) ф .

$0=\eta^{\mu\nu}\partial_\mu\partial_\nu\varphi=\left(-\partial_t^2+\vec{\nabla}^2+\partial_z^2\right)\varphi.$ Решение

ты "=" А е^{- я ю т + я \vec{к} \cdot \vec{Икс} + я д г} + Б е^{- я ю т + я \vec{к} \cdot \vec{Икс} - я д г},

$u=Ae^{-i\omega t+i\vec{k}\cdot\vec{x}+iqz}+Be^{-i\omega t+i\vec{k}\cdot\vec{x}-iqz},$ где

q = \sqrt{ω^{2} - {\vec{k}}^{2}}

$q=\sqrt{\omega^2-\vec{k}^2}$ . Режимы с

{\vec{k}}^{2} > ω^{2}

$\vec{k}^2>\omega^2$ запрещены, так как не нормализуются в регионе

z \to \infty

$z\to\infty$ . Наложение граничных условий Дирихле

{φ |}_{z = 0} = 0

$\left.\varphi\right|_{z=0}=0$ приводит к

ты "=" С е^{я к \cdot Икс} грех (д г)

$u=C e^{i{k}\cdot{x}}\sin(qz)$ где

k \cdot x = - ω t + \vec{k} \cdot \vec{x}

$k\cdot x=-\omega t+\vec{k}\cdot\vec{x}$ . Теперь можно расширить поле

φ

$\varphi$ в собственных модах

u

$u$ мы нашли. Мы разделяем положительные и отрицательные частотные моды:

ф (Икс, г) "=" \int_{к^{0} > | \vec{к} |} д^{д} к (С а_{к} е^{я к \cdot Икс} грех (д г) + С^{*} а_{к}^{†} е^{- я к \cdot Икс} грех (д г)) .

$\varphi(x,z)=\int_{k^0>|\vec{k}|} d^d k\, \left(C a_{k} e^{i{k}\cdot{x}}\sin(qz)+C^* a_k^\dagger e^{-i{k}\cdot{x}}\sin(qz)\right).$ С этого момента квантование и вычисление двухточечной функции становятся простыми. Во-первых, вычисляется норма Клейна-Гордона функций моды, чтобы найти нормализацию

C

$C$ . Канонические коммутационные соотношения для

a_{k}

$a_k$ и

a_{k}^{†}

$a_k^\dagger$ накладываются и можно найти вакуумную двухточечную функцию.

Результат может быть преобразован обратно в $AdS$ с использованием

⟨ ф (Икс, г) ф (у, г^{'}) ⟩ "=" г^{- \frac{1 - д}{2}} {г^{'}}^{- \frac{1 - д}{2}} ⟨ ф (Икс, г) ф (у, г^{'}) ⟩

$\langle\phi(x,z)\phi(y,z')\rangle= z^{-\frac{1-d}{2}}{z'}^{-\frac{1-d}{2}}\langle\varphi(x,z)\varphi(y,z')\rangle$

Результат,

⟨ ф (Икс, г) ф ({Икс}^{'}, г^{'}) ⟩ "=" \frac{Г (\frac{д - 1}{2})}{4 π^{\frac{г + 1}{2}}} (\frac{1}{[(Икс - {Икс}^{'})^{2} + (г - г^{'})^{2}]^{\frac{д - 1}{2}}} - \frac{1}{[(Икс - {Икс}^{'})^{2} + (г + г^{'})^{2}]^{\frac{д - 1}{2}}})

$\langle\varphi(x,z)\varphi(x',z')\rangle=\frac{\Gamma\left(\frac{d-1}{2}\right)}{4\pi^{\frac{d+1}{2}}}\left(\frac{1}{[(x-x')^2+(z-z')^2]^{\frac{d-1}{2}}}-\frac{1}{[(x-x')^2+(z+z')^2]^{\frac{d-1}{2}}}\right)$ очень интересно. Трансляционная инвариантность вдоль

x

$x$ диктует, что коррелятор может зависеть только от

x - x^{'}

$x-x'$ . Из-за граничных условий Дирихле при

z = 0

$z=0$ , где граница AdS отображается при изменении масштаба, трансляционной инвариантности в

z

$z$ -направление нарушено. Кроме срока, зависящего от

z - z^{'}

$z-z'$ , есть термин

z + z^{'}

$z+z'$ . Это можно сравнить с электромагнетизмом, где граничные условия Дирихле могут быть обеспечены введением зеркальных зарядов.

- z^{'}

$-z'$ в основном является зеркальным отражением

z^{'}

$z'$ после размышления в

z = 0

$z=0$ , поэтому есть второй член из-за граничных условий Дирихле на границе AdS.

Холмс · Answer 2

Преобразование Вейля является конформным преобразованием. Они просто называют это преобразованием Вейля, потому что оно находится в рамках общей теории относительности. Это означает, что ваша попытка понять утверждение (то есть вопросы «1» и «2») неверна и имеет мало общего с отношениями между симметрией Вейля и конформно-скалярной симметрией. Утверждение, которое вы пытаетесь понять, говорит о том, что симметрия Вейля упрощает скалярные корреляторы, то есть когда вы берете вакуумное математическое ожидание безмассового скалярного поля.

например

⟨ ф ({Икс}_{1}), ф ({Икс}_{2}) . . . ф ({Икс}_{н}) ⟩ "=" \frac{\int Д ф е^{- С [ф]} ф ({Икс}_{1}) . . . ф ({Икс}_{н})}{\int Д ф е^{- С [ф]}}

$\begin{equation} \langle\phi(x_1),\phi(x_2)...\phi(x_n)\rangle= \frac{\int D\phi e^{-S[\phi]} \phi(x_1)...\phi(x_n)}{\int D\phi e^{-S[\phi]}} \end{equation}$

Как видите, взять VEV намного проще, потому что

С [ф] "=" - \frac{1}{2} \int д^{д + 1} Икс \sqrt{- г} (\partial_{ты} ф \partial^{ты} ф - \frac{(д - 1) (д + 1)}{4} ф^{2})

$\begin{equation} S[\phi]=-\frac{1}2 \int d^{d+1}x \sqrt{-g}(\partial_u\phi\partial^u\phi-\frac{(d-1)(d+1)}4\phi^2) \end{equation}$

В принципе, преобразования Вейля и конформные преобразования разные, см. здесь . Преобразования Вейля представляют собой явное изменение масштаба метрики с фиксированными координатами, в то время как конформные преобразования представляют собой преобразования координат, при которых метрика изменяется. Если предполагается, что вейлевская инвариантность приводит к конформной инвариантности, то при конформном преобразовании $x\to x'=\Omega^{-1}x$ , У меня должно быть $\phi\to\phi'(z')=\Omega^{\frac{1-d}{2}}\phi(z)$ . Откуда я это знаю?
Я не думаю, что эта конкретная связь между вейлевской и конформной инвариантностью имеет много общего с исходным утверждением, которое вы пытались понять, но вопрос о том, как вейлевская инвариантность приводит к конформной инвариантности в метрике AdS, очень интересен и до сих пор актуален. еще предстоит объяснить в более глубоком математическом контексте. Я думаю, вам следует задать еще один вопрос, полностью посвященный этим отношениям. Я продолжу разбираться в этом сам, но что касается отношений между ними, я знаю столько же, сколько и вы.

Упрощающий эффект скрытой симметрии Вейля в КТП на искривленное пространство-время

физик

Qмеханик

физик

Ответы (2)

физик

Холмс

физик

Холмс

Температура Хокинга для данной метрики

Унру излучение и сохранение энергии

Масштабная инвариантность плюс унитарность подразумевает конформную инвариантность?

Является ли гравитация просто электромагнитным притяжением?

Зачем нужны граничные условия в квантовых теориях поля?

Как нарушается масштабная инвариантность в КХД?

Инстантоны и невозмущающие амплитуды в гравитации

Как вывести квантовую теорию поля из метрики пространства-времени?

Безмассовые поля в искривленном пространстве-времени

Коллапс волновой функции и гравитация