В задачах гравитационного линзирования принято проецировать как фоновый источник, так и отклоняющую массу (например, фоновый квазар и галактику переднего плана, действующую как линза) на плоскость.
Тогда проблему линзирования можно рассматривать как отображение между плоскостью источника без линзы и плоскостью изображения с линзой. В таких преобразованиях якобиан, вычисленный в точке исходной плоскости, выражает, как увеличивается бесконечно малая площадь, расположенная вокруг этой точки.
Масса линзы и ее распределение, относительные положения и расстояния приводят к различным сценариям. Особый случай, когда искажения слишком малы, чтобы их можно было разрешить с помощью телескопов, называется режимом микролинзирования . Как правило, темный, невидимый объект, такой как парящая планета, пересекается в поперечном направлении перед фоновой звездой.
Изображение фоновой звезды претерпевает усиление и искажения, которые не удается устранить, но обнаруживается изменение яркости с очень типичной формой кривой блеска. Измеренная кривая блеска события микролинзирования может быть связана с физическими параметрами задачи, поскольку изменение яркости изображения с линзой можно смоделировать, просто разделив площадь изображения с линзой на площадь исходного изображения без линзы. Если это и возможно, то потому, что средний поверхностный поток изображения равен потоку источника.
То есть гравитационное линзирование может заставить крошечный источник казаться больше в небе, но, говоря простым языком, каждый квадратный дюйм изображения имеет ту же яркость, что и каждый квадратный дюйм источника. Вот мой вопрос, потому что он кажется мне довольно нелогичным, и когда я пытаюсь найти ему строгое обоснование, я нахожу одно и то же загадочное предложение в каждой книге, в каждом обзоре, в каждой статье , которую я видел:
«Из-за теоремы Лиувилля гравитационное линзирование сохраняет поверхностную яркость»
(... и, следовательно, увеличение определяется путем деления скрытой области изображения на площадь источника). Каждый автор, которого я читал, отбрасывает это предложение, как если бы оно было чем-то совершенно очевидным, и быстро переходит к другим вопросам.
Я попытался проследить происхождение этой идеи, обратившись к библиографии каждой книги или документа, в которых говорится об этом. Интересно, что я узнал своего рода отпечаток неясных моментов, подобных этому, шаблон, который повторяется во многих документах, как будто некоторые авторы не поняли и просто копировали друг у друга, развивая и персонализируя только те части, которые они понимают. между.
Я тщательно проработал и разрешил все темные точки в этом паттерне, но этот остается нерешенным. Может быть, это что-то очевидное? Как теорема Лиувилля применяется к фотонам вдоль нулевых геодезических? Я приму соответствующую ссылку или бумажную ссылку в качестве хорошего ответа.
Этот вопрос довольно старый, но я подумал, что другие люди, кроме OP, могут быть заинтересованы в ответе. У меня был точно такой же вопрос, поэтому я спросил своего консультанта, и он сказал мне, что ответ можно найти в двух местах. Во-первых (что неудивительно), у Мизнера, Торна и Уилера есть полное происхождение, особенно в разделах 22.5 и 22.6. Также есть попытка более интуитивного объяснения в « Гравитации с нуля» Шютца , очень интересной книге, в которой делается попытка объяснить ОТО только с помощью школьной математики. На самом деле я не уверен, что объяснение, данное там, имеет смысл, но оно помогло мне прийти к тому, что имеет смысл.
Если бы мне нужно было обобщить все это, я бы сказал, что сохранение поверхностной яркости (или удельной интенсивности, или étendue, или...) является результатом обмена между объемом пространства положения и объемом пространства импульса, или между твердым угол и площадь.
Я не буду воспроизводить всю математику, потому что ее можно найти в MTW, но основная идея заключается в следующем. Первый важный факт заключается в том, что вы можете представить себе распространение света как группу «классических» фотонов, движущихся вдоль нулевых геодезических, и количество фотонов сохраняется.
Эта фотонная картина позволяет вам использовать кинетическую теорию, развитую в разделе 22.6 MTW, где выводится теорема Лиувилля: частицы, объем в занимаемом ими фазовом пространстве, заданном произведением объема в трехмерном пространстве и в импульсном пространстве, измеренном локально инерционным наблюдателем, является лоренц-инвариантным и постоянным вдоль мировой линии. Следовательно, числовая плотность также является постоянным. Я не буду приводить доказательство, так как гораздо проще просто посмотреть на картинки в MTW, но это ключевой шаг, который имеет все парадоксальные последствия.
Последним шагом является связывание числовой плотности с удельной интенсивностью или поверхностной яркостью. , количество энергии в единицу времени, площадь детектора, частота и телесный угол импульсов фотонов. Это довольно стандартный вывод, и он имеет смысл. Результат в том, что .
Частота может безумно меняться вдоль геодезической, но пока между источником и наблюдателем нет космологического красного смещения, чистое изменение будет равно нулю, поэтому для наших целей является константой, что является результатом, который нам нужен. Данный кусок телесного угла с точки зрения наблюдателя получает один и тот же поток независимо от того, есть ли на пути линза или нет.
Как вы заметили, это имеет довольно противоречивые последствия. Из закона сохранения энергии вы (ошибочно) ожидаете, что большее изображение будет более тусклым, потому что данный телесный угол наблюдения покрывает меньше изображения с линзой, чем изображение без линзы. Но изображение также кажется ближе, поэтому оно также ярче. Или, если выразиться более осторожно, при наличии точки на источнике свет от большего телесного угла достигнет наблюдателя, чем если бы линзы не было (надеюсь, это предложение имеет смысл!). Сохранение объема фазового пространства гарантирует, что эти два эффекта точно компенсируют друг друга.
Если кому-то интересно подумать над этим, у меня есть несколько советов. Вы должны быть осторожны при рисовании 2D-изображений, потому что использование телесных углов имеет важное значение: может случиться так, что изображения будут сжаты в одном направлении и растянуты в другом, поэтому на 2D-диаграмме изображение будет выглядеть меньше, хотя на самом деле оно больше. Кроме того, вы должны учитывать световые лучи, исходящие под заданным телесным углом из точки на источнике, а также световые лучи, исходящие из области на источнике, которые сходятся в точке у наблюдателя под некоторым телесным углом. Это компромисс между телесным углом и площадью, о котором я упоминал ранее.
Они имеют в виду свойство света из геометрической оптики. Сохраняющееся свойство - это «entendue» (см. Статью в Википедии), а постоянство яркости можно продемонстрировать множеством способов (гамильтоновская оптика, т.е. теорема Лиувилля, второй закон термодинамики, как указано выше, и т. д.).
Это всего лишь второй закон термодинамики.
Предположим, у вас есть большое исходное черное тело и небольшое целевое черное тело. Вы строите целую кучу геометрической оптики, чтобы сфокусировать свет от источника к цели (например, зеркала позади цели и линзы перед ней). В конце концов наблюдатель, стоящий на мишени, смотрит вверх и видит свет от источника в каждой точке неба.
Весь этот входящий свет нагревает черное тело цели до тех пор, пока оно не начнет излучать свет так же быстро, как и входит. Это означает, что цель достигает той же температуры, что и источник. Если бы вы могли увеличить поток на единицу телесного угла, цель стала бы горячее, чем источник, нарушив второй закон.
Этого достаточно, или вы хотели технический анализ уравнения линзирования?
Н. Дева
Эдуардо Геррас Валера