Теорема о флуктуациях-диссипации для скоростей

Question

Теорема о флуктуациях-диссипации для скоростей

Мастер математики

Мне дали следующую задачу о теореме диссипации флуктуаций:

Рассмотрим внешнюю силу $f(t)= \frac{f_0}{2}(e^{i\omega_0 t}+e^{-i\omega_0 t})$ действует на частицу с импульсом $p=mv$ в какой-то среде. Полный гамильтониан имеет вид:

ЧАС "=" \frac{п^{2}}{2 м} + U ({д, п}_{е н в}) - \frac{п ф (т)}{м},

$H = \frac{p^2}{2m}+U(\{q,p\}_{env})-\frac{p f(t)}{m},$

где $env$ обозначает положения и импульсы среды.

Меня просят найти среднюю скорость рассеяния. И мне это дано $\langle v(\omega)\rangle=\chi_v(\omega)f(\omega)$ , где $\chi_v(\omega)$ функция отклика скорости. Ответ должен быть следующим:

⟨ \frac{г Е}{г т} ⟩ "=" \frac{1}{2} ф_{0}^{2} х_{в}^{''} (ю_{0}) ю_{0}

$\Big\langle \frac{dE}{dt}\Big\rangle=\frac{1}{2}f_0^2 \chi_v^{\prime\prime}(\omega_0)\omega_0$ где

χ_{v}^{''} (ω_{0})

$\chi^{\prime\prime}_v(\omega_0)$ обозначает мнимую часть

χ_{v} (ω_{0})

$\chi_v(\omega_0)$ .

Мое испытание :

Мы можем найти $\langle v(t)\rangle$ с помощью обратного преобразования Фурье:

⟨ в (т) ⟩ "=" \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} х_{в} (ю) ф (ю) е^{- я ю т} г ю .

$\langle v(t)\rangle=\frac{1}{2\pi}\int^{\infty}_{-\infty}\chi_v(\omega)f(\omega) e^{-i\omega t} d\omega.$

Заметим, что преобразование Фурье силы $f(t)$ дан кем-то:

ф (ю) "=" ф_{0} π [дельта (ю - ю_{0}) + дельта (ю + ю_{0})] .

$f(\omega) = f_0 \pi[\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)].$

Таким образом, мы находим, что:

⟨ в (т) ⟩ "=" \frac{ф_{0}}{2} \int_{- \infty}^{\infty} х_{в} (ю) [дельта (ю - ю_{0}) + дельта (ю + ю_{0})] е^{- я ю т} г ю .

$\langle v(t) \rangle = \frac{f_0}{2}\int^{\infty}_{-\infty}\chi_v(\omega)[\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)] e^{-i \omega t}d\omega.$

Из этого я нахожу, что $\langle v(t) \rangle$ дан кем-то:

⟨ в (т) ⟩ "=" \frac{ф_{0}}{2} (х_{в} (ю_{0}) е^{- я ю_{0} т} + х_{в} (- ю_{0}) е^{я ю_{0} т}) .

$\langle v(t) \rangle = \frac{f_0}{2} (\chi_v(\omega_0)e^{-i\omega_0 t}+\chi_v(-\omega_0)e^{i\omega_0 t}).$

Теперь я использовал следующее, чтобы найти диссипацию энергии частицы:

\frac{г Е}{г т} "=" ф (т) ⟨ в (т) ⟩ "=" \frac{ф_{0}^{2}}{4} (е^{я ю_{0} т} + е^{- я ю_{0} т}) (х_{в} (ю_{0}) е^{- я ю_{0} т} + х_{в} (- ю_{0}) е^{я ю_{0} т}) .

$\frac{dE}{dt} = f(t)\langle v(t) \rangle = \frac{f^2_0}{4}(e^{i\omega_0 t}+e^{-i\omega_0 t})(\chi_v(\omega_0)e^{-i\omega_0 t}+\chi_v(-\omega_0)e^{i\omega_0 t}).$

Мы можем усреднить это за некоторый период времени $T$ следующее:

⟨ \frac{г Е}{г т} ⟩ "=" \frac{1}{Т} \int_{0}^{Т} \frac{г Е}{г т} г т "=" \frac{ф_{0}^{2}}{4 Т} \int_{0}^{Т} (х_{в} (ю_{0}) + х_{в} (- ю_{0}) + е^{2 я ю_{0} т} х_{в} (- ю_{0}) + е^{- 2 я ю_{0} т} х_{в} (ю_{0})) г т .

$\Big\langle \frac{dE}{dt} \Big\rangle = \frac{1}{T}\int^T_0 \frac{dE}{dt} dt = \frac{f_0^2}{4T} \int^T_0 (\chi_v (\omega_0 )+\chi_v(-\omega_0)+e^{2i \omega_0 t}\chi_v(-\omega_0)+e^{-2i \omega_0 t}\chi_v (\omega_0))dt.$

Так как мы берем $T = 2\pi/\omega_0$ последние два члена дают исчезающий вклад в интеграл. Таким образом, мы находим, что:

⟨ \frac{г Е}{г т} ⟩ "=" \frac{ф_{0}^{2}}{4} (х_{в} (ю_{0}) + х_{в} (- ю_{0})) .

$\Big\langle \frac{dE}{dt} \Big\rangle = \frac{f^2_0}{4}(\chi_v(\omega_0)+\chi_v(-\omega_0)).$

Затем мы видим, что из-за $\chi_v(\omega_0) = \chi^\prime_v(\omega_0)+i\chi^{\prime \prime}_v (\omega_0)$ мы можем написать:

х_{в} (ю_{0}) + х_{в} (- ю_{0}) "=" 2 х_{в}^{'} (ю_{0}),

$\chi_v(\omega_0)+\chi_v(-\omega_0) = 2 \chi^\prime_v(\omega_0),$ где

χ^{'}

$\chi^\prime$ обозначает действительную часть

χ

$\chi$ , мы можем сделать это, потому что действительная часть четна, а мнимая часть нечетна.

ω_{0}

$\omega_0$ . Но потом нахожу следующее:

⟨ \frac{г Е}{г т} ⟩ "=" \frac{ф_{0}^{2}}{2} х_{в}^{'} (ю_{0}),

$\Big\langle \frac{dE}{dt} \Big \rangle = \frac{f^2_0}{2}\chi_v^\prime(\omega_0),$

но это отличается от того, что я должен доказать.

Вопрос: может ли кто-нибудь заметить разницу или помочь мне с этой проблемой?

пользователь197851

Проверьте свою формулу на

d E / d t

$dE/dt$ . Справа,

f (t) ⟨ v (t) ⟩

$f(t)\langle v(t)\rangle$ должен быть неправильным (имеет единицы энергии, а не энергии/времени).

Мастер математики

Привет, спасибо за ответ. Один вопрос: скорость, умноженная на силу, дает мощность, а не энергию?

пользователь197851

Вы только звоните

f

$f$ сила! Он появляется в вашем возмущенном гамильтониане как термин

- (p / m) f (t) = - v f (t)

$-(p/m)f(t)=-vf(t)$ . Таким образом, его единицы такие же, как импульс. Реальная сила появится как термин

- x f (t)

$-xf(t)$ или похожие.

Мастер математики

Вы правы, но проблема в том, что в вопросе сказано именно так буквально. Я думаю, что они могут ошибаться, и что

f

$f$ действительно следует интерпретировать как внешний импульс.... Спасибо, профессор!

пользователь197851

Часто говорят об «обобщенной силе». Я не говорю, что проблема заключается в определении члена возмущения в гамильтониане; Я говорю, проверьте свою формулу скорости изменения энергии. Я думаю, что где-то нужна еще одна производная по времени. Более того, я не хочу говорить!

пользователь197851

Теперь вы дали свой ответ (в вопросе), ниже я представляю некоторый контекст, который может помочь другим, кто смотрит на этот вопрос. Я бы не советовал вам «принимать» мой ответ (потому что я не полностью отвечаю на ваш первоначальный вопрос); вместо этого я предлагаю вам вырезать и вставить раздел «Редактировать» вашего вопроса в свой собственный ответ (а затем сделать его официально «принятым» ответом). Это поможет навести порядок. Со временем я могу удалить некоторые моих комментариев здесь, опять же с намерением привести в порядок.

Ответы (2)

Теорема о флуктуациях-диссипации для скоростей

Проверьте свою формулу на $dE/dt$ . Справа, $f(t)\langle v(t)\rangle$ должен быть неправильным (имеет единицы энергии, а не энергии/времени).
Привет, спасибо за ответ. Один вопрос: скорость, умноженная на силу, дает мощность, а не энергию?
Вы только звоните $f$ сила! Он появляется в вашем возмущенном гамильтониане как термин $-(p/m)f(t)=-vf(t)$ . Таким образом, его единицы такие же, как импульс. Реальная сила появится как термин $-xf(t)$ или похожие.
Вы правы, но проблема в том, что в вопросе сказано именно так буквально. Я думаю, что они могут ошибаться, и что $f$ действительно следует интерпретировать как внешний импульс.... Спасибо, профессор!
Часто говорят об «обобщенной силе». Я не говорю, что проблема заключается в определении члена возмущения в гамильтониане; Я говорю, проверьте свою формулу скорости изменения энергии. Я думаю, что где-то нужна еще одна производная по времени. Более того, я не хочу говорить!
Теперь вы дали свой ответ (в вопросе), ниже я представляю некоторый контекст, который может помочь другим, кто смотрит на этот вопрос. Я бы не советовал вам «принимать» мой ответ (потому что я не полностью отвечаю на ваш первоначальный вопрос); вместо этого я предлагаю вам вырезать и вставить раздел «Редактировать» вашего вопроса в свой собственный ответ (а затем сделать его официально «принятым» ответом). Это поможет навести порядок. Со временем я могу удалить некоторые моих комментариев здесь, опять же с намерением привести в порядок.

пользователь197851 · Answer 1

Поскольку вы изложили свое решение, я надеюсь, что можно предложить некоторый контекст.

Не все осознают, что есть два способа получения этого результата, и если они видели только один из них, то возникает искушение считать другой путь «неправильным». В дальнейшем я буду рассматривать случай, когда возмущенная энергия равна $E=E_0-f(t)A(x,p)$ , и $A(x,p)$ есть некоторая функция координат и импульсов системы. $A(t)$ является удобным сокращением для $A(x(t),p(t))$ . Угловые скобки представляют средние значения в возмущенном ансамбле.

Например, в «Современном курсе статистической физики» Л. Е. Райхля, 4-е издание, стр. 262, уравнения (7.123) — (7.130) (эти же уравнения появляются в главах с другими номерами в более ранних изданиях) вы увидите диссипацию, выраженную как скорость выполнения работать с окружающей средой. Я изменю знак этого и выражу его как скорость выполнения работы в интересующей системе (полученная мощность).

п (т) "=" \frac{г Вт}{г т} "=" ф (т) \frac{г ⟨ А (т) ⟩}{г т}

$P(t) = \frac{dW}{dt} = f(t)\frac{d\langle A(t)\rangle}{dt}$ Это ответ, который вы дали, с

A = p / m

$A=p/m$ .

В Statistical Mechanics by DA McQuarrie, p540, Problem 21-58, и в других местах, таких как заметки курса HC Andersen , диссипация рассчитывается с точки зрения скорости изменения энергии системы. В этом случае,

п^{'} (т) "=" \frac{г ⟨ Е ⟩}{г т} "=" - \frac{г ф}{г т} ⟨ А (т) ⟩

$P'(t) = \frac{d\langle E\rangle}{dt} = -\frac{df}{dt}\langle A(t)\rangle$ Заметки Андерсена весьма хороши тем, что дают простой вывод этого и объясняют, следует ли нам рассматривать

E

$E$ или

E_{0}

$E_0$ здесь.

Эти два определения, $P$ и $P'$ , мгновенной мощности отличаются друг от друга.

Есть несколько мест, где приводятся и сравниваются оба выражения: например, « Введение в современную статистическую механику» Д. Чандлера, стр. 258, раздел 8.7, и « Неравновесная статистическая физика » Н. Потье, стр. 390, уравнения (14.1.1) — (14.1. 11). Чандлер указывает, что, если два выражения усреднить за период времени, можно интегрировать по частям, предполагая, что граничные члены в точке $t=0$ и $t=T$ пренебрежимо малы, что должно быть верно, если $T$ достаточно долго,

\bar{п (т)} "=" \frac{1}{Т} \int_{0}^{Т} г т ф (т) \frac{г ⟨ А (т) ⟩}{г т} "=" - \frac{1}{Т} \int_{0}^{Т} г т \frac{г ф}{г т} ⟨ А (т) ⟩ "=" \bar{п^{'} (т)}

$\overline{P(t)} =\frac{1}{T}\int_0^T dt \, f(t)\frac{d\langle A(t)\rangle}{dt} =-\frac{1}{T}\int_0^T dt \, \frac{df}{dt}\langle A(t)\rangle =\overline{P'(t)}$ поэтому средние значения оказываются равными. Нечто подобное происходит, когда вы интегрируете по циклу колебательное возмущение. И Потье на самом деле говорит

Как показывают формулы (14.1.4) и (14.1.10), мгновенная мощность, полученная системой, не равна мгновенной скорости выделения энергии системы, связанной с полем. Однако, как показывают формулы (14.1.5) и (14.1.11), в среднем эти величины равны. Вот почему среднюю мощность, рассеиваемую в системе, можно также получить из средней скорости эволюции полной энергии системы, связанной с полем.

Мастер математики · Answer 2

Ошибка в расчетах заключается в том, что $f(t)$ является не силой, а обобщенной силой, что означает, что в этом случае она имеет единицы импульса. И поэтому уравнение для скорости диссипации не совсем правильное. Таким образом, средняя скорость рассеяния определяется следующим образом:

⟨ \frac{г Е}{г т} ⟩ "=" \frac{1}{Т} \int_{0}^{Т} ф (т) \frac{г ⟨ в (т) ⟩}{г т} г т,

$\Big \langle \frac{dE}{dt} \Big\rangle = \frac{1}{T}\int^T_0f(t)\frac{d\langle v(t)\rangle}{dt} dt,$

(или другая форма, как указано профессором выше).

Отсюда мы находим, что:

\frac{г Е}{г т} "=" \frac{ф_{0}^{2}}{4} (я ю_{0} х_{в} (- ю_{0}) е^{я ю_{0} т} - я ю_{0} х_{в} (ю_{0}) е^{- я ю_{0} т}) (е^{я ю_{0} т} + е^{- я ю_{0} т}) .

$\frac{dE}{dt} = \frac{f^2_0}{4}(i\omega_0 \chi_v(-\omega_0) e^{i\omega_0 t}-i\omega_0 \chi_v(\omega_0)e^{-i\omega_0 t})(e^{i\omega_0 t}+e^{-i\omega_0 t}).$

Усреднение по времени дает:

⟨ \frac{г Е}{г т} ⟩ "=" \frac{ф_{0}^{2}}{4 я} ю_{0} (х_{в} (ю_{0}) - х_{в} (- ю_{0})) .

$\Big\langle \frac{dE}{dt} \Big\rangle = \frac{f_0^2}{4i}\omega_0 (\chi_v(\omega_0)-\chi_v(-\omega_0)).$

С

х_{в} (ю_{0}) - х_{в} (- ю_{0}) "=" 2 я х_{в}^{''} (ю_{0}),

$\chi_v(\omega_0)-\chi_v(-\omega_0) = 2i \chi_v^{\prime\prime}(\omega_0),$

мы можем записать предыдущее выражение следующим образом:

⟨ \frac{г Е}{г т} ⟩ "=" \frac{ф_{0}^{2}}{2} ю_{0} х_{в}^{''} (ю_{0}) .

$\Big \langle \frac{dE}{dt} \Big \rangle = \frac{f^2_0}{2}\omega_0 \chi_v^{\prime\prime}(\omega_0).$

Кредиты профессору, помогающему мне с этим вопросом.

Теорема о флуктуациях-диссипации для скоростей

Мастер математики

пользователь197851

Мастер математики

пользователь197851

Мастер математики

пользователь197851

пользователь197851

Ответы (2)

пользователь197851

Мастер математики

Безмассовая броуновская частица Уравнение Ланжевена и FDT

H-теорема и уравнение Больцмана в применении к распределению Больцмана

Нахождение статистической суммы для трехуровневой системы

Каково соотношение флуктуации-диссипации для неквадратичных кинетических энергий?

Чем обусловлена вязкость жидкости?

энтропия длинной цепочки молекул по отношению к ее длине

Флуктуационная диссипация на кольце?

Что такое нетепловая плазма?

Степени свободы в двухатомном газе в 2-х измерениях

Вывод математического ожидания плотности частиц для парных взаимодействий между частицами