Безмассовая броуновская частица Уравнение Ланжевена и FDT

Учитывая уравнение Ланжевена безмассовой броуновской частицы:

$$\gamma \dot{x}=\eta,$$

где$\gamma$- коэффициент трения и$\eta$шум ($\langle\eta \rangle =0$и$\langle\eta(t)\eta(s)\rangle=2k_BT\gamma\delta(t-s)$), я хочу найти корреляцию$C(t,s)=\langle x(t)x(s)\rangle$и функция отклика$G(t,s)=\langle \frac{\delta x(t)}{\delta \eta(s)} \rangle$.

Я нахожу это, так как$x(t)=\int_0^tv(s)ds$($x_0=0$для простоты),

$$C(t,s)=\frac{1}{\gamma^2}\int_0^tdu\int_0^sdv\langle\eta(u)\eta(v)\rangle=\frac{1}{\gamma}\int_0^s\int_0^sdudv2k_BT\delta(u-v)=\frac{2k_BT}{\gamma}s,$$

где я считал$t>s$.

Я нахожу также из уравнения Ланжевена,

$$\frac{\delta}{\delta\eta(s)}\gamma\frac{\partial x(t)}{\partial t}=\frac{\delta\eta(t)}{\delta\eta(s)}=\delta(t-s),$$

затем

$$\int_{s-\epsilon}^{s+\epsilon}\frac{\partial}{\partial t}\frac{\delta x(t)}{\delta\eta(s)}dt=\int_{s-\epsilon}^{s+\epsilon}\frac{1}{\gamma}\delta(t-s)=\frac{1}{\gamma}$$

и

$$\frac{\delta x(t)}{\delta \eta(s)}\Bigg|_{t\rightarrow s^+}=\frac{1}{\gamma}\;\;\;\;\;\text{and}\;\;\;\;\;\frac{\delta x(t)}{\delta \eta(s)}\Bigg|_{t\rightarrow s^-}=0\;\;\text{(by causality)}.$$

Следовательно, в разрыве я выбираю половину значения для положительного$s$:$\frac{1}{2\gamma}$.

Затем

$$G(t,s)=\langle\frac{1}{2\gamma}\rangle=\frac{1}{2\gamma}.$$

Теперь я хочу проверить теорему о флуктуации-диссипации, которая, как я полагаю, в данном случае гласит:

$$\frac{\partial}{\partial s} C(t,s)=k_BTG(t,s).$$

Очевидно, проблема в том, что$\frac{\partial}{\partial s} C(t,s)=\frac{2k_BT}{\gamma}$, пока$k_BTG(t,s)=\frac{k_BT}{2\gamma}$.

Я делаю что-то неправильно? Разве это не странно, что$C(t,s)$не зависит от$t$? Разве не должна выполняться теорема о флуктуации-диссипации?