Вывод математического ожидания плотности частиц для парных взаимодействий между частицами

мой вопрос почему$<\hat{n}(\vec{r})>=n$

у меня гамильтониан$H_N= \sum_{i}^{N} \frac{P_i^2}{2m}+U(\vec{R_1},\vec{R_2},..,\vec{R_N})$где$U(\vec{R_1},\vec{R_2},..,\vec{R_N})= \frac{1}{2!}\sum_{i\neq j}^{N} U_2(\vec{R_i},\vec{R_j})$представляет собой парный потенциал взаимодействия.

Используя это, вы можете получить функцию разделения$Z=\sum_{N=0}^{ \infty} \frac{1}{N!}(\frac{e^{\beta \mu}}{(\Lambda_T)^{d}})^{N} (\prod_{i=1}^N[\int d^{d} \vec{R_i}])e^{- \beta U(\vec{R_1},\vec{R_2},..,\vec{R_N})}$

От нее если брать плотность при положении$\vec{r}$быть$\hat{n}(\vec{r})= \sum_{i=1}^N \delta^{d}(\vec{r}-\vec{R_i})$ты должен получить$<\hat{n}(\vec{r})>=n$. Когда я подключаюсь$\hat{n}(\vec{r})$Кажется, я не могу получить этот результат.

Когда я пытаюсь, я получаю$<\hat{n}(\vec{r})>=\frac{1}{\sum_{N=0}^{ \infty} \frac{1}{N!}(\frac{e^{\beta \mu}}{(\Lambda_T)^{d}})^{N} (\prod_{i=1}^N[\int d^{d} \vec{R_i}])e^{- \beta U(\vec{R_1},\vec{R_2},..,\vec{R_N})}}*\sum_{N=0}^{ \infty} \frac{1}{N!}(\frac{e^{\beta \mu}}{(\Lambda_T)^{d}})^{N} (\prod_{i=1}^N[\int d^{d} \vec{R_i}])\sum_{i=1}^N \delta^{d}(\vec{r}-\vec{R_i})e^{- \beta U(\vec{R_1},\vec{R_2},..,\vec{R_N})} \rightarrow\frac{1}{\sum_{N=0}^{ \infty} \frac{1}{N!}(\frac{e^{\beta \mu}}{(\Lambda_T)^{d}})^{N} (\prod_{i=1}^N[\int d^{d} \vec{R_i}])e^{- \beta U(\vec{R_1},\vec{R_2},..,\vec{R_N})}}*\sum_{N=0}^{ \infty} \frac{1}{N!}(\frac{e^{\beta \mu}}{(\Lambda_T)^{d}})^{N} e^{- \beta U(\vec{r},\vec{r},..,\vec{r})}$

Это то место, где я застрял. Я не могу понять, куда идти после интеграции дельта-функции, чтобы получить$<\hat{n}(\vec{r})>=n$

Спасибо.