Теплофизика Шредера: множественность одной молекулы идеального газа

Нам нужно подсчитать количество линейно независимых волновых функций, доступных частице. С ограничениями, заключающимися в том, что область конечна и ее энергия ограничена, это число состояний всегда является конечным числом.

Несмотря на это, существует множество различных наборов линейно независимых волновых функций, с которыми мы можем работать. Поэтому выбирайте те, которые имеют определенные значения энергии.

Кинетическая энергия зависит от квадрата импульса. Волновые функции должны удовлетворять граничным условиям, то есть в одномерном ящике они должны стремиться к нулю на обоих концах. Таким образом, разрешены только определенные длины волн с дискретными значениями 2L, 2L/2, 2L/3....

$E_n$"="$h^2$$n^2$/8м$L^2$где n — любое положительное целое число.

Любая другая волновая функция может быть записана как линейная комбинация волновых функций определенной энергии. Эти определенные энергетические волновые функции линейно независимы.

Таким образом, подсчет количества определенных энергетических волновых функций — это способ подсчета «всех» состояний в ящике.

Внутри трехмерного ящика мы умножаем 3 1-мерные волновые функции с определенной энергией, чтобы создать трехмерную волновую функцию с определенной энергией.

$\psi$(х, у, г) =$\psi_x (x)$$\psi_y (y)$$\psi_z$(г)

Эти произведения не все являются определенными волновыми функциями энергии, но другие могут быть записаны как их линейные комбинации.

Если коробка представляет собой куб, мы имеем

Э =$h^2$/8м$L^2$$[n^2$$_x$+$n^2$$_y$+$n^2$$_z$]

Большинство энергетических уровней вырождены, что соответствует множеству линейно независимых состояний, которые необходимо учитывать отдельно. Количество линейно независимых состояний, имеющих заданную энергию, называется вырождением уровня. То есть (n-кратное) вырождение.

У вас есть определенное количество различных состояний положения, каждое из которых может иметь определенное количество различных состояний импульса, связанных с ним, поэтому общее количество различных состояний является произведением двух.

Таким образом, молекула может находиться в положении X = 5, с импульсом P = 7 и так далее. По крайней мере, я так читал, пока не просмотрел несколько книг. Затем он расширяет эту идею до 3D.

Относительно (1): Состояния, которые вы написали, обладают энергией$\frac{\hbar^2}{2m}(\frac{2\pi n}{L})^2$и в этом случае действительно существует бесконечно много линейно независимых волновых функций.

В книге автор начинает с рассмотрения одиночного атома газа фиксированной энергии$U$внутри коробки. Затем он хочет подсчитать количество линейно независимых волновых функций при этой конкретной энергии. Это соответствует сфере в импульсном пространстве:$p_x^2+p_y^2+p_z^2=p^2$, и число таких линейно независимых волновых функций конечно.

Я думаю, он подчеркивает, что вам нужна независимость , чтобы получить конечное число, потому что, учитывая два собственных состояния энергии$|\phi\rangle$,$|\psi\rangle$, всегда можно взять «глупые» линейные комбинации:

$\alpha |\phi\rangle+(1-\alpha)|\psi\rangle$.

Надеюсь это поможет.

Редактировать: о (2):

Это традиционно делается для$N$частицы, но позвольте мне дать неформальный набросок:

Используя нотацию count_to_10 :$E_=(n_x^2+n_y^2+n_z^2) h^2/8mL^2$. Теперь мы хотим посчитать, сколько состояний имеют энергию меньше, чем$\bar{E}$.

Прежде всего некоторые обозначения: пусть$\Phi(\bar{E})$обозначают количество состояний с энергией$\leq \bar{E}$и$\omega(\bar{E})$обозначает количество состояний с энергией в диапазоне$[\bar{E},\bar{E}+\delta E]$.

Глядя на формулу энергии:$(n_x^2+n_y^2+n_z^2)=8mL^2 E / h^2$. Это как раз и означает, что вектор$(n_x,n_y,n_z)$имеет фиксированную длину (квадрат нормы). Следовательно, состояния с энергией меньше, чем$\bar{E}$задаются точками в$n$пространство внутри сферы радиуса$(8mL^2 E / h^2)^{1/2}$. Общее количество таких точек может быть аппроксимировано объемом сферы:

$\Phi(\bar{E})=\frac{1}{8}\frac{4}{3}(\frac{8mL^2\bar{E}}{h^2})^{\frac{3}{2}}$.

The $1/8$связано с тем, что мы рассматриваем только положительные$n$, следовательно, только один октант.

Теперь, когда мы знаем количество состояний с энергией$\leq \bar{E}$, мы можем получить количество состояний с энергией в$[\bar{E},\bar{E}+\delta E]$взяв производную по отн.$\bar{E}$:

$\omega(\bar{E})=\frac{1}{4} L^3 (\frac{8m}{h^2})^{3/2} E^{\frac{1}{2}} \delta E$.

Здесь вы видите «объем позиции», заданный$L^3$а остальное можно представить себе как исходящее из объема, натянутого на разрешенные импульсы. В любом случае, я думаю, что автор написал эту формулу в качестве аргумента и докажет точный результат позже в книге.

Ps: приведенный выше трюк можно понять так:

$\omega(E)=\Phi(E+\delta E)- \phi(E)= \frac{\Phi(E+\delta E)-\Phi(E)}{\delta E} \delta E \approx \frac{d\Phi}{dE}\delta E$.