Теплопроводность металлов

Металлический стержень станет горячее. Только не очень много для большого стержня.

Энергия будет течь от ваших пальцев к металлу, пока температура металла не достигнет температуры ваших пальцев. Для большого металлического объекта этого никогда не произойдет для всех практических целей. Однако для небольшого объекта это действительно происходит. Если вы возьмете монетку, сначала она будет прохладной, но через минуту или две она перестанет быть прохладной.

Обратите внимание, что требуется около минуты, чтобы нагреть монетку до такой степени, что она перестанет быть прохладной. Для больших объектов потребовалось бы очень и очень много времени, в течение которого металл отдавал бы энергию воздуху... так что он может никогда не перестать ощущать прохладу.

Когда что-то кажется холодным, холод вызывает не температура, а скорость передачи тепла (тепловой поток) от вашего тела к объекту.

Считайте, что теплопроводность подчиняется закону Фурье ,$\dot{q} = -k A \Delta T$

Мы можем упростить это уравнение для наших целей, приняв один из объектов за наше тело с температурой тела 37°С.$^\circ$C, и другой испытуемый объект всегда должны иметь одинаковую площадь контакта. Отсюда можно сделать вывод, что тепловой поток зависит от теплопроводности объекта, которая является свойством материала, из которого он сделан, и его температуры.

$$\dot{q}\sim k~(T - 37)$$

Давайте немного поиграем с этим.

Случай 1. Прикосновение к одному и тому же объекту при разной температуре
.$T$варьируется.$k$остается постоянным. Это дает нам$\dot{q}\sim(T - 37)$, поэтому десятицентовик при 0°C кажется холоднее, чем при 30°C.

Случай 2: прикосновение к десятицентовику и глиняной монете при одинаковой температуре
.$T$то же самое, и уравнение сводится к$\dot{q} \sim k$. Мы знаем, что проводимость глиняной монеты меньше, чем проводимость металлической монеты. Вот почему мы чувствуем, что металлическая монета быстрее отводит тепло от нашего пальца, и, следовательно, она кажется более холодной.

Следовательно, если вы посмотрите с точки зрения монеты, она быстрее нагревается и, следовательно, быстрее достигает температуры вашего тела. Глиняной монете потребуется больше времени, чтобы достичь той же температуры.

Поскольку разница температур является движущим параметром для проводимости, оба через достаточное время достигнут одной и той же температуры.

---

Теперь немного более сложная математика.

Уравнение Фурье можно переписать как

$$\begin{align} \dot{q} &= -k A \Delta T = \frac{\text{d}q}{\text{d}t} \\ \therefore \frac{\text{d}q}{\text{d}t} &= -k A (T - T_{res}) \\ \text{d}q &= m C \text{d}T \\ \therefore m C \frac{\text{d}T}{\text{d}t} &= -k A (T - T_{res}) \\ \therefore \frac{\text{d} T}{T - T_{res}} &= -\frac{k A}{m C} \text{d} t \\ \therefore \int_{T_{init}}^{T}\frac{\text{d} T}{T - T_{res}} &= \int_0^t-\frac{k A}{m C} \text{d} t \\ \therefore \ln(\frac{T - T_{ref}}{T_{init} - T_{ref}}) &= -\frac{k A}{m C} t \\ \therefore \frac{\Delta T}{\Delta T_{init}} &= \exp(-\frac{k A}{m C} t) \\ \therefore \frac{\Delta T}{\Delta T_{init}} &= \exp(-\phi t) \\ \therefore \dot{q} &= -k A \exp(-\phi t) \Delta T_{init} \end{align}$$

Как видно из этого рисунка, разница температур падает намного быстрее, если$\phi$больше, т.е.$k A / m C$больше. Если масса и площадь контакта обоих сравниваемых объектов одинаковы, это означает, что чем больше$k / C$, тем быстрее объект достигает равновесия с тепловым резервуаром. Вот тот же график, но показывающий температуру монеты в начале 0°C с течением времени при прикосновении к тепловому резервуару при 37°C.

На следующем изображении показан график зависимости теплового потока от времени. Как видите, меньший$k$дает меньший тепловой поток, но поддерживается в течение более длительного периода времени.

---

Примечания:

$C$удельная теплоемкость материала, из которого изготовлена ​​монета.$k$это теплопроводность.$m$это масса и$A$площадь контакта между объектом и резервуаром для слуха.

Я бы сказал, что в учебнике используются довольно расплывчатые термины, хотя я полагаю, что это просто для того, чтобы вам было легче понять. Разные материалы имеют разную удельную теплоемкость, свойство, которое указывает, сколько тепла требуется для повышения температуры материала на 1 градус Цельсия на грамм материала. Например, удельная теплоемкость воды составляет 1 калорию на грамм на градус Цельсия (или, что то же самое, 4,184 Дж на грамм на градус Цельсия — здесь я использую калории только потому, что это позволяет мне использовать простые числа в моем объяснении). Это означает, что если вы выделили 50 калорий тепла, вы могли бы повысить температуру 1 грамма воды с 25 до 75°С (изменение на 50°С) или температуру 50 граммов воды с 25 до 75°С. 26 C или любое другое изменение, при котором масса, умноженная на изменение температуры, равна 50. Металлы обычно имеют очень низкую удельную теплоемкость, в то время как более изолирующие вещества, такие как вода и дерево, имеют более высокую удельную теплоемкость.

Сказать что-то «кажется холоднее» довольно расплывчато. Я бы сказал, что в тот момент, когда вы прикасаетесь к металлу или дереву, они, вероятно, «почувствуют» для вас одно и то же. Однако, если вы возьмете, скажем, 50 граммов дерева и 50 граммов металла, то металлу потребуется гораздо меньше времени, чтобы достичь температуры тела. Если предположить, что ваше тело отдает тепло и тем, и другим с одинаковой скоростью, то потребуется меньше энергии, чтобы поднять температуру металла (с низкой удельной теплоемкостью) при эквивалентной массе дерева (с высокой удельной теплоемкостью). Вы можете легко найти таблицу удельных теплоемкостей для некоторых распространенных материалов, просто выполнив поиск в Интернете.

Надеюсь, это поможет!