Тождественно исчезающий след TμνTμνT^{\mu\nu} и аномалия следа

Question

Тождественно исчезающий след TμνTμνT^{\mu\nu} и аномалия следа

Физика
масштабная инвариантность
квантовые аномалии
квантовая теория поля
конформная теория поля
стресс-энергия-импульс-тензор

кв45

Рассмотрим теорию, определяемую действием на плоском пространстве $S[\phi]$ где $\phi$ обозначает вместе области теории. Изучим теорию на общем фоне $g_{\mu\nu}$ и тогда мы установим метрику плоской.

Евклидова статистическая сумма теории при наличии внешнего источника равна

\begin{matrix} (1) & Z [Дж] "=" \int [г ф] е^{- С - \int г^{г} Икс Дж О} \end{matrix}

$Z[J] = \int [d\phi] e^{-S -\int d^d x\, J \, \mathcal{O}}\tag 1$

где $\mathcal{O}$ может быть как элементарным, так и составным полем (в дальнейшем мы будем считать его следом тензора энергии-импульса).

Теперь очень хорошо известен результат, заключающийся в том, что бесследовый тензор энергии-импульса подразумевает конформную инвариантность; действительно, при конформном преобразовании $g_{\mu\nu} \rightarrow f(x)g_{\mu\nu}$ такой, что

\partial_{(мю} ϵ_{ν)} "=" ф (Икс) г_{мю ν}

$\partial_{(\mu}\epsilon_{\nu)} = f(x) g_{\mu\nu}$

действие трансформируется как

дельта С "=" \frac{1}{г} \int г^{г} Икс Т_{мю}^{мю} \partial_{р} ϵ^{р}

$\delta S = \frac{1}{d}\int d^d x T^{\mu}_\mu \partial_\rho \epsilon^\rho$

Теперь другой хорошо известный результат гласит, что в общей фоновой метрике ожидаемое значение $T^\mu_\mu$ не равен нулю, а зависит от вейлевских инвариантных тензоров и эйлеровой плотности, т. е.

⟨ Т_{мю}^{мю} ⟩ "=" \sum а_{я} Е_{г} - с_{я} {Вт}_{мю ν р . . . .}^{2}

$\langle T^\mu_\mu \rangle = \sum a_i E_d - c_i W_{\mu\nu\rho....}^2$

где $\langle T^\mu_\mu \rangle$ обычно определяется вариацией связного вакуумного функционала $W = \log Z[J]$ при вариациях метрики.

Первый вопрос. Является $\langle T^\mu_\mu \rangle$ можно вычислить обычным способом с помощью статистической суммы? Это установка $\mathcal{O} = T^\mu_\mu$ в уравнении (1) мы вычисляем

\begin{matrix} (2) & ⟨ Т_{мю}^{мю} ⟩ "=" \frac{дельта}{дельта Дж} Z [Дж] |_{Дж "=" 0} \end{matrix}

$\langle T^\mu_\mu \rangle = \frac{\delta}{\delta\, J} Z[J]\Big|_{J=0}\tag 2$

Второй вопрос. Если ответ на первый вопрос ДА, то я ожидаю, $\langle T^\mu_\mu \rangle$ вычисляется как вариация связного вакуумного функционала $W[J]$ совпадает с вычисленным в уравнении (2). Это правда?

Третий вопрос.

Классическое бесследное условие может быть реализовано двумя способами:

на ракушке ; затем, $T^{\mu}_\mu$ не тождественно нулю, но это так, как только вы примените уравнение движения, например $\lambda \phi^4$ теория в d=4.
$T^\mu_\mu$ тождественно равен нулю; то есть вам не нужно использовать уравнение движения (например, безмассовое скалярное поле в d = 2 на изогнутом фоне)

В первом случае, поскольку $T^\mu_\mu$ обращается в нуль в уравнении движения, я согласен, что оно может получить квантовые поправки за счет привязки теории к искривленному пространству; все в порядке.

Вместо этого во втором случае, а именно $T^\mu_\mu$ тождественно нулю, я не могу вычислить его математическое ожидание из уравнения (1) и уравнения (2), поскольку $\mathcal{O}=0$ одинаково; то есть правая часть уравнения (2) равна нулю, поскольку Z[J] на самом деле не зависит от J. Это будет означать $\langle T^\mu_\mu \rangle=0$ .

Верно ли по-прежнему, что теория имеет аномалию на фоне искривленного пространства? Я бы сказал ДА, так как аномалия зависит только от центральных зарядов. Как разрешить это кажущееся противоречие?

кв45

Вы получаете тензор энергии-импульса, который можно сделать бесследным, если применить уравнение движения.

пользователь110373

EOM имеет производную второго порядка по полям, тогда как

T_{μ ν} = \partial_{μ} ϕ \partial_{ν} ϕ - \frac{1}{2} η_{μ ν} (\partial ϕ)^{2} - \frac{λ}{24} η_{μ ν} ϕ^{4}

$T_{\mu\nu}=\partial_{\mu}\phi\partial_{\nu}\phi-\frac{1}{2}\eta_{\mu\nu}(\partial\phi)^2-\frac{\lambda}{24}\eta_{\mu\nu}\phi^4$ не содержит

\partial^{2} ϕ

$\partial^2 \phi$ .

кв45

тензор энергии-импульса получается равным

T^{μ ν} = \partial^{μ} ϕ \partial^{ν} ϕ - η^{μ ν} L

$T^{\mu\nu} = \partial^\mu \phi \partial^\nu \phi -\eta^{\mu\nu} \mathcal{L}$ где

L

$\mathcal{L}$ является лагранжианом. Вы можете изменить его, добавив полную производную так, чтобы закон сохранения для

T^{μ ν}

$T^{\mu\nu}$ не испорчен. Затем вы можете отправить

T^{μ ν} \to T^{μ ν} - 1 / 6 (\partial^{μ} \partial^{ν} - η^{μ ν} ◻) ϕ^{2} = ϕ (◻ ϕ + λ / 3! ϕ^{3}) = 0

$T^{\mu\nu} \rightarrow T^{\mu\nu} - 1/6(\partial^\mu\partial^\nu - \eta^{\mu\nu}\square)\phi^2 = \phi(\square\phi + \lambda/3! \phi^3) = 0$ в оболочке

Кнчжоу

@ apt45 Вы в конце концов нашли решение для этого? Я сталкиваюсь с той же проблемой - я думаю, что для свободного безмассового скаляра в

d = 2

$d = 2$ ,

T^{μ_{μ}}

$T^{\mu_\mu}$ тождественно исчезает.

Кнчжоу

Возможно, это как-то связано с тем, как

T^{μ ν}

$T^{\mu\nu}$ определяется в квантовой теории? То есть нужно что-то вроде обычного упорядочения.

кв45

@knzhou Извините, я не нашел исчерпывающего ответа на этот вопрос. На самом деле было бы поучительно пройтись по вычислению аномалии следа в d=2 для свободного скалярного поля (где и возникает основная проблема). Я постараюсь рассмотреть этот вопрос, как только смогу. Если вы получите ответ раньше меня, вы можете объяснить его.

кв45

@knzhou извините, это было давно, и я не очень хорошо помню исходный выпуск. Теперь я понимаю. Если я правильно помню доказательство, вычисление в d=2 происходит через квантовое действие, и я не смог сопоставить два вычисления.

Кнчжоу

Я так понимаю, что оператор

T_{μ ν}

$T_{\mu\nu}$ определяется в квантовой теории как нормальное упорядоченное произведение, см. уравнение Полчинского. 2.3.15 с дополнительным термином. Итак, когда мы вычисляем

⟨ T_{μ}^{μ} ⟩

$\langle T^\mu_\mu \rangle$ с интегралом по путям мы должны включить этот член, который не всегда бесследен.

Юань Яо

@knzhou Ваше понимание кажется хорошим! Есть ли у вас какие-то дополнительные идеи на этот счет?

Ответы (1)

Тождественно исчезающий след TμνTμνT^{\mu\nu} и аномалия следа

Вы получаете тензор энергии-импульса, который можно сделать бесследным, если применить уравнение движения.
EOM имеет производную второго порядка по полям, тогда как $T_{\mu\nu}=\partial_{\mu}\phi\partial_{\nu}\phi-\frac{1}{2}\eta_{\mu\nu}(\partial\phi)^2-\frac{\lambda}{24}\eta_{\mu\nu}\phi^4$ не содержит $\partial^2 \phi$ .
тензор энергии-импульса получается равным $T^{\mu\nu} = \partial^\mu \phi \partial^\nu \phi -\eta^{\mu\nu} \mathcal{L}$ где $\mathcal{L}$ является лагранжианом. Вы можете изменить его, добавив полную производную так, чтобы закон сохранения для $T^{\mu\nu}$ не испорчен. Затем вы можете отправить $T^{\mu\nu} \rightarrow T^{\mu\nu} - 1/6(\partial^\mu\partial^\nu - \eta^{\mu\nu}\square)\phi^2 = \phi(\square\phi + \lambda/3! \phi^3) = 0$ в оболочке
@ apt45 Вы в конце концов нашли решение для этого? Я сталкиваюсь с той же проблемой - я думаю, что для свободного безмассового скаляра в $d = 2$ , $T^{\mu_\mu}$ тождественно исчезает.
Возможно, это как-то связано с тем, как $T^{\mu\nu}$ определяется в квантовой теории? То есть нужно что-то вроде обычного упорядочения.
@knzhou Извините, я не нашел исчерпывающего ответа на этот вопрос. На самом деле было бы поучительно пройтись по вычислению аномалии следа в d=2 для свободного скалярного поля (где и возникает основная проблема). Я постараюсь рассмотреть этот вопрос, как только смогу. Если вы получите ответ раньше меня, вы можете объяснить его.
@knzhou извините, это было давно, и я не очень хорошо помню исходный выпуск. Теперь я понимаю. Если я правильно помню доказательство, вычисление в d=2 происходит через квантовое действие, и я не смог сопоставить два вычисления.
Я так понимаю, что оператор $T_{\mu\nu}$ определяется в квантовой теории как нормальное упорядоченное произведение, см. уравнение Полчинского. 2.3.15 с дополнительным термином. Итак, когда мы вычисляем $\langle T^\mu_\mu \rangle$ с интегралом по путям мы должны включить этот член, который не всегда бесследен.
@knzhou Ваше понимание кажется хорошим! Есть ли у вас какие-то дополнительные идеи на этот счет?

М.Джо · Answer 1

Ответ на первые два вопроса положительный: $\langle T^\mu_\mu \rangle$ может быть вычислено из статистической суммы, и это то же самое, что и вариация связанного вакуумного функционала $W[J]$ . Я позволю кому-то еще углубиться в детали доказательства, если это необходимо.

Тогда в вашем третьем вопросе есть небольшая путаница: тот факт, что есть аномалия, говорит вам именно об этом. $T^\mu_\mu$ никогда не бывает тождественно нулем на фоне искривленного пространства (за исключением, может быть, очень особых случаев, но тогда аномалии нет). Члены, которые вы написали в своей аномалии, то есть плотность Эйлера и квадрат тензора Вейля, являются тензорами кривизны, которые обращаются в нуль в плоском пространстве. Так что вы всегда найдете $\langle T^\mu_\mu \rangle = 0$ с этой аномалией.

Но это еще не значит, что $T^\mu_\mu$ тождественно равен нулю: у вас все еще может быть

⟨ Т_{мю}^{мю} О_{1} \dots О_{н} ⟩ \neq 0.

$\langle T^\mu_\mu \mathcal{O}_1 \cdots \mathcal{O}_n \rangle \neq 0.$ Вопрос, исчезают ли все такие корреляторы в теории, в которой

⟨ T_{μ}^{μ} ⟩ = 0

$\langle T^\mu_\mu \rangle = 0$ еще не до конца решен в размерах

d > 2

$d > 2$ .

Если вы хотите узнать больше на эту тему, я предлагаю посмотреть https://arxiv.org/abs/1302.0884 и ссылки там.

Привет М.Джо. Тот факт, что аномалия присутствует в искривленном пространстве, говорит мне о том, что математическое ожидание следа (на искривленном фоне) отлично от нуля. Написанная мной аномалия ничего не говорит о ее классическом выражении. Противоречие легко разрешается, если любая теория искривленного пространства-времени имеет след энергии-импульса, след которого не может быть тождественно нулевым в классическом понимании без использования уравнений движения. Но я не знаю, правда ли это
Я могу привести контрпример: действие безмассового скалярного поля в d=2 имеет $T^\mu_\mu=0$ даже на фоне искривленного пространства. Но в этом случае аномалия все же присутствует, верно?
@apt45 Вы уверены, что $T^\mu_\mu$ тождественно равен нулю в этом случае? Я предполагаю, что оно обращается в нуль только в уравнении движения, и в этом нет противоречия. Иначе вы бы сказали мне, что $\langle T^\mu_\mu \rangle \neq 0$ но $T^\mu_\mu$ ровно ноль как оператор???
@ M.Jo Это идентично нулю, и это нетрудно показать; след $(\partial_\mu \phi)(\partial^\mu \phi) - \delta^\mu_\mu (1/2)(\partial_\nu \phi)^2 = 0$ даже вне оболочки. У меня тот же вопрос, что и у ОП, и я был бы очень признателен за некоторую ясность в этом!
@knzhou, я думаю, что аномалия изменяет классическую форму тензора энергии-импульса. Форма, которую вы записали, исходит из изменения действия по отношению к переводу в координате положения поля. Теперь идея аномалии состоит в том, что в искривленном пространстве-времени есть дополнительный вклад, исходящий от меры. Обычно это не записывается как изменение формы $T_{\mu\nu}$ но я думаю, что это именно то, что он делает.

Тождественно исчезающий след TμνTμνT^{\mu\nu} и аномалия следа

кв45

кв45

пользователь110373

кв45

Кнчжоу

Кнчжоу

кв45

кв45

Кнчжоу

Юань Яо

Ответы (1)

М.Джо

кв45

кв45

М.Джо

Кнчжоу

октонион

Масштабная инвариантность плюс унитарность подразумевает конформную инвариантность?

Неоднозначность в бета-функциях (2 цикла)

Связь конформной симметрии и бесследового тензора энергии-импульса

Бесследовость тензора энергии-импульса в d=2d=2d=2

Тензор энергии-импульса в конформной теории поля

Алгебра Вирасоро против алгебры Витта

Чем отличается масштабная инвариантность от самоподобия?

Коррелятор тензора энергии-импульса и ОПЭ

Как определить длину корреляции, когда корреляционная функция затухает по степенному закону?

Определение преобразованного поля в CFT