Тензор энергии-импульса в конформной теории поля

Я попытаюсь добраться до сути ваших вопросов, не слишком беспокоясь о математической строгости/деталях (как это принято в физике), но, надеюсь, деталей достаточно, чтобы ответ был ясен.

Почему это имеет какое-то отношение к энергии или импульсу?

Сначала немного предыстории. В физике теория поля$\phi$на коллекторе$M$часто определяется действием$S$; функционал, отображающий заданную конфигурацию поля$\phi$к числу (часто целевой набор действия либо$\mathbb R$или$\mathbb C$). Для конкретности рассмотрим теорию поля на$\mathbb R^d$. Как часто оказывается, действие такой теории поля трансляционно-инвариантно. Это означает, что если мы определим действие группы переводов$\mathbb R^d$на полях$\phi$теории$\phi\to\phi_\epsilon$где

$$\phi_\epsilon(x) = \phi(x-\epsilon)$$ затем $$S[\phi] = S[\phi_\epsilon]$$ В таких случаях теорема теории поля, называемая теоремой Нётер, гарантирует существование сохраняющегося тензора. $T^{\mu\nu}$связанный с этой инвариантностью, а именно тот, для которого $$\partial_\mu T^{\mu\nu} = 0$$ Этот сохраняющийся тензор, связанный с трансляционной инвариантностью действия, и есть то, что мы называем тензором энергии-импульса, и, по сути, это тот тензор, о котором мы говорим в контексте конформной теории поля.

Так какое же, черт возьми, имеет отношение этот объект к энергии и/или импульсу? Ну, мы можем мотивировать это физически с помощью примеров. Если вы возьмете в качестве примера теории поля электромагнетизм, то обнаружите, что компоненты$T^{\mu\nu}$тензора энергии-импульса физически представляют такие величины, как плотность энергии, запасенной в полях. Обнаруживается, например, что$00$компонента тензора электромагнитной энергии-импульса имеет выражение

$$T^{00} = \frac{1}{8\pi}(\mathbf E^2 + \mathbf B^2)$$ то, что можно показать другими средствами, есть именно плотность физической энергии, хранящейся в электромагнитных полях.

Конформная инвариантность вытекает из условия$\mathrm{tr} \,T=a_1+a_3=0$. (Что означает это предложение?)

Можно показать, что при преобразовании координат$x\to x+\epsilon(x)$, действие достаточно общей теории поля преобразуется как

$$S \to S+\frac{1}{2}\int d^dx \,T^{\mu\nu}(\partial_\mu\epsilon_\nu + \partial_\nu \epsilon_\mu) + O(\epsilon^2)$$ Конформное преобразование обладает тем свойством, что $$\partial_\mu\epsilon_\nu + \partial_\nu \epsilon_\mu = \frac{2}{d}\partial_\rho \epsilon^\rho \,\delta_{\mu\nu}$$ который дает $$S \to S+ \frac{1}{d}\int d^dx\, T^\mu_{\phantom\mu\mu}\partial_\rho\epsilon^\rho + O(\epsilon^2)$$ Обратите внимание, что подынтегральная функция содержит след $T^\mu_{\phantom\mu\mu}$тензора энергии-импульса, и мы видим, что если этот след обращается в нуль, то действие обладает свойством $$S \to S+ O(\epsilon^2)$$ Инвариантен к первому порядку в $\epsilon$. Это своего рода «бесконечно малая инвариантность», как мог бы назвать это физик, и это то, на что ссылается данное утверждение в данном контексте.

Какой тип объекта$T(z)$? И как получается из$T$?.

Для конформной теории поля на$\mathbb R^2$, после перехода к комплексным координатам$z,\bar z$можно показать, что$\partial_{\bar z} T_{zz}(z,\bar z) = 0$, поэтому для компактности обозначений часто пишут$T_{zz}(z, \bar z) = T(z)$