Как определить длину корреляции, когда корреляционная функция затухает по степенному закону?

Позволять$C(r)$— корреляционная функция. Корреляционная длина определяется как

$$\xi=-\lim_{r\to\infty}\frac{r}{\log C(r)}$$

Если$C(r)$затухает медленнее экспоненциального, указанный выше предел расходится, и$\xi=\infty$. Если быстрее сгниет,$\xi=0$.

Поведение по степенному закону типично для масштабно-инвариантных систем, таких как CFT .

Если корреляционная функция затухает по степенному закону, то корреляции являются масштабно-инвариантными (т. е.$C(\lambda r)=\lambda^{-\alpha}C(r)$), что является еще одним способом сказать, что нет никакой (макроскопической) шкалы длины. Другими словами, никакой длины корреляции не существует, и обычно говорят, что она бесконечна (поскольку масштабно-инвариантные корреляции могут быть получены из предела$\xi\to\infty$немасштабно-инвариантной функции).

При моделировании, если система имеет конечную длину корреляции, можно предположить, что для малого импульса$q$,

$$C(q)=\frac{C(0)}{1+q^2\xi^{2}} .$$ Поскольку моделирование выполняется на конечном размере системы $L$, наименьший ненулевой импульс равен $q=2\pi/L$, а оценка корреляционной длины равна $$\xi_{\rm sim} = \frac{L}{2\pi}\sqrt{\frac{C(0)}{C(2\pi/L)}-1}.$$ В пределе больших размеров системы это будет сходиться к истинной длине корреляции, тогда как оно будет расходиться, если система не зависит от масштаба.

Что касается значения затухания по степенному закону, обычно есть две возможности. Во-первых, система находится в критической точке фазового перехода (второго рода), где корреляционная длина расходится. Другая возможность состоит в том, что система находится в фазе нарушенной симметрии (непрерывной симметрии), где моды Голдстоуна доминируют в физике на больших расстояниях, поскольку они по определению не имеют зазоров.