Тождество и неразличимость в квантовой механике

Что-то вроде того, что вы предлагаете, "неразличимый" означает$n$-преобразование состояния тела с помощью одномерного представления симметричной группы$S_n$. Обсуждение этого, в том числе обсуждение различий между классической и квантовой концепциями, ведется в

Бах, Александр. «Концепция неразличимых частиц в классической и квантовой физике». Основы физики 18, вып. 6 (1988): 639-649

более математически ориентированное обсуждение в

Каплан, Инна Г. «Принцип исключения и неразличимость идентичных частиц в квантовой механике». Успехи советской физики 18, вып. 12 (1975): 988

и действительно жесткое математическое обсуждение этого в

Хадсон, Робин Л. и Грэм Р. Муди. «Локально нормальные симметричные состояния и аналог теоремы де Финетти». Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandte Gebiete 33, no. 4 (1976): 343-351.

Ничто из этого не апеллирует к идее перекрывающихся волновых функций или состояний. В конкретном случае$\vert\psi\rangle$что вы даете, где состояние имеет амплитуды как в симметричной, так и в антисимметричной частях, тогда состояние частично симметрично. Очевидным примером является состояние продукта.

$$\vert \omega_1\rangle \vert\omega_2\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \vert \omega_1\rangle \omega_2\rangle+ \vert \omega_2\rangle \vert\omega_1\rangle\right) +\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \vert \omega_1\rangle \omega_2\rangle- \vert \omega_2\rangle \vert\omega_1\rangle\right)\, .$$ В самом деле, когда вероятность нахождения состояния для каждого иррепа (а может быть более одного иррепа для$S_n$с$n\ge 3$) одинаково (считая несколько копий irrep отдельно), то состояние полностью различимо, так как ваш$\vert\psi\rangle$выше. Видеть

Тиллманн М., Тан С.Х., Стокл С.Э., Сандерс Б.С., Де Гиз Х., Хейлманн Р., Нольте С., Самейт А. и Вальтер П., 2015. Обобщенная многофотонная квантовая интерференция. Physical Review X, 5(4), стр.041015

для обсуждения$S_3$случай.

В нерелятивистской квантовой механике вы правы. Логически возможно иметь (в вашем языке) идентичные, но не неразличимые частицы. Неразличимость является дополнительным предположением.

Я думаю об этом так: неразличимость — это логическая возможность, которая допускается в квантовой механике, но не в классической механике, и Природа решила воспользоваться этой возможностью.

Конечно, это предположение имеет много наблюдаемых следствий, которые очень поразительны и наблюдались, так что нет никаких сомнений в том, что это действительно хорошее предположение. На ум приходят принцип запрета Паули и идея о том, что бозоны «группируются» вместе, или, в более общем смысле, понятие «обменной силы».

В релятивистской квантовой механике (квантовой теории поля) существует более глубокая структура, из которой следует как тождество, так и неразличимость. Невозможно иметь релятивистскую квантовую теорию с фиксированным числом частиц, поэтому квантуются поля, которые могут описать неопределенное число частиц .количество частиц. Неразличимость (т. е. тот факт, что состояние должно быть полностью симметричным или антисимметричным при обмене) и тождественность (эквивалентность «внутренних признаков») состояний частиц, построенных из операторов квантового поля, естественным образом выпадает из формализма (если вы хотите чтобы в этом разобраться, погуглите "Fock Space"). Более того, теорема о спиновой статистике, утверждающая, что частицы с целым спином должны быть бозонами, а частицы с половинным спином должны быть фермионами, может быть доказана только в квантовой теории поля, а не в нерелятивистской квантовой механике.

но являясь одним из возможных состояний двух идентичных систем частиц.

Возможно математически, но отвергается квантовой теорией на основании принципа неразличимости идентичных частиц в одной атомной системе.

Точно так же атом гелия, имеющий 1-ю частицу в 1s-состоянии и 2-ю частицу в 2p-состоянии, возможен математически, но отвергается в расчетах (в пользу симметричных/антисимметричных суперпозиций). Этот отказ иногда считают принципиальным, но на самом деле причина в том, что расчеты пси-функций и другие результаты квантовой химии работают лучше, когда мы ограничиваем пси-функции (включая спин) антисимметричными.

Вы правы в том, что идентичность частиц не обязательно означает, что они также неразличимы. Электрон в микроволновой печи и электрон на Луне различимы. Но для атомных систем их невозможно различить, и мы с хорошими результатами предполагаем, что это не так.