Убегающая скорость ракеты, стоящей на Ганимеде (луне Юпитера) [закрыто]

Question

Убегающая скорость ракеты, стоящей на Ганимеде (луне Юпитера) [закрыто]

Ауфвинд

Я хочу рассчитать скорость убегания ракеты, стоящей на поверхности Ганимеда (спутника Юпитера) и пытающейся покинуть Ганимед.

Я думал, что кинетическая энергия $E_{\text{KIN}}$ должна быть равна или больше потенциальной энергии $E_{\text{POT}}$ . Так $E_{\text{KIN}}\geq E_{\text{POT}}$

Предполагая $m$ масса ракеты и $M_G$ масса спутника Ганимеда и $M_R$ это радиус Луны и $v$ скорость ракеты и $G$ это гравитационная постоянная, которую мы можем установить

г \frac{м М_{г}}{р_{г}^{2}} "=" \frac{м в^{2}}{2 р_{г}}

$G \frac{mM_G}{R^2_G}=\frac{mv^2}{2R_G}$ что приводит к

\sqrt{2 г \frac{М_{г}}{р_{г}}} "=" в

$\sqrt{2G \frac{M_G}{R_G}}=v$

Первый вопрос, который у меня есть: $G$ постоянная только для Земли или она применима и ко всем другим планетам? (Если это не применимо, как мне его рассчитать?)

Если вы посмотрите на следующую картинку, то увидите, что ракете предстоит преодолеть не только Ганимед, но и сам Юпитер:

Юпитер и Ганимед

Поэтому я построил формулу следующим образом:

г \frac{М_{Дж}}{р^{2}} + г \frac{М_{г}}{р_{г}^{2}} "=" \frac{в^{2}}{2 р_{г}}

$G \frac{M_J}{R^2} + G \frac{M_G}{R^2_G}=\frac{v^2}{2R_G}$ где

M_{J}

$M_J$ это масса Юпитера и

R

$R$ это расстояние от центра Юпитера до стартовой точки ракеты.

Это звучит правильно?

Александр

Я устал, но это странно. Обычный подход состоит в том, чтобы смотреть на задействованные силы, а не на кинетическую энергию. Вы также пренебрегаете тем, как движется ракета. Его масса не постоянна после запуска двигателей. И да, G — универсальная константа.

Ауфвинд

Спасибо за комментарий, Александр. Вы правы насчет изменения массы ракеты. Но мы смотрим на это только как на модель, поэтому пренебрегаем этим. Ракета движется прямо вправо на одной линии с двумя центрами Луны и планеты. (На картинке есть стрелка). Я тоже устал. Так что извините за любые опечатки и тому подобное... :-)

Александр

Ищите пропущенные «2», и все будет в порядке :-)

Ответы (1)

Убегающая скорость ракеты, стоящей на Ганимеде (луне Юпитера) [закрыто]

Я устал, но это странно. Обычный подход состоит в том, чтобы смотреть на задействованные силы, а не на кинетическую энергию. Вы также пренебрегаете тем, как движется ракета. Его масса не постоянна после запуска двигателей. И да, G — универсальная константа.
Спасибо за комментарий, Александр. Вы правы насчет изменения массы ракеты. Но мы смотрим на это только как на модель, поэтому пренебрегаем этим. Ракета движется прямо вправо на одной линии с двумя центрами Луны и планеты. (На картинке есть стрелка). Я тоже устал. Так что извините за любые опечатки и тому подобное... :-)
Ищите пропущенные «2», и все будет в порядке :-)

Рон Маймон · Answer 1

Ответ неверен, но только потому, что формулы потенциальной энергии и кинетической энергии написаны неправильно.

Чтобы найти скорость убегания, изменение кинетической плюс потенциальной энергии ракеты приравнивается к нулю. Если ракета движется с космической скоростью, она не движется в конце и не имеет потенциальной энергии (в обычном соглашении, когда потенциальная энергия между точечными тяготеющими массами обращается в нуль на бесконечности). Это дает уравнение:

\frac{м в^{2}}{2} - \frac{г м М_{Дж}}{р_{Дж г}} - \frac{г м М_{г}}{р_{г}} "=" 0

${mv^2\over 2} -{G m M_J\over R_{JG}} - {G m M_G\over R_G} = 0$

Где участвует левая сторона $R_{JG}$ , расстояние между Юпитером и Ганимедом, $R_G$ - радиус Ганимеда, $M_J$ , масса Юпитера, $M_G$ , масса Ганимеда, и m, масса ракеты (которая делится с обеих сторон). Есть также небольшие поправки, зависящие от скорости вращения Ганимеда и от того, начинаете ли вы со стороны Юпитера или с дальней от Юпитера стороны Луны. Решение для v дает ваше уравнение. Я не знаю, почему вы разделили на R-факторы, потенциальная энергия — это просто произведение масс, деленное на расстояние, умноженное на G.

G универсальна для всей материи во вселенной — это универсальная константа, одинаковая на Земле, на Юпитере или где-либо еще. Вы можете думать об этом как о константе, фиксирующей правильную единицу массы для нашей Вселенной как массу Планка, как только вы сначала установите скорость света и постоянную Планка (деленную на 2pi) равными единице.

Ответ для скорости убегания

в "=" \sqrt{\frac{2 г М_{Дж}}{р_{г Дж}} + \frac{2 г М_{г}}{р_{г}}}

$v= \sqrt{{2 GM_J \over R_{GJ}} + {2 GM_G\over R_G} }$

РЕДАКТИРОВАТЬ: глупое упущение

Я упустил кое-что существенное, а именно то, что Ганимед вращается вокруг Юпитера! Так что у него уже есть большая скорость, достаточная, чтобы компенсировать половину отрицательной потенциальной энергии гравитации. Ракете, если она взлетит в оптимальном направлении --- по направлению орбиты Ганимеда, нужно будет только увеличить свою скорость до скорости убегания от начальной и без того большой орбитальной скорости. Ракете относительно поверхности Ганимеда нужно будет только получить сверху приращение скорости, равное v.

Стартовая скорость ракеты равна орбитальной скорости Ганимеда вокруг Юпитера. $v_i$ , который находится путем превращения силы тяжести в центростремительную силу

в_{я} "=" \sqrt{\frac{г М_{Дж}}{р_{Дж г}}}

$v_i = \sqrt{GM_J\over R_{JG}}$

И правильный ответ для космической скорости, которую должна была бы приобрести ракета относительно Ганимеда, будет $v-v_i$ .

РЕДАКТИРОВАТЬ: второй G?

Добавлена потерянная константа G :/

Одного я не понимаю. Расстояние $R_{JG}$ между центром масс Юпитера и центром масс Ганимеда? Кроме того, для потенциальной энергии между ракетой и Юпитером, почему вы не включили радиус Ганимеда? Разве это не должно быть так $- \frac{г м М_{Дж}}{р_{Дж г} + р_{г}}$ $-{G m M_J\over R_{JG} + R_G}$
@Nazaf: я пренебрег R_G там, где он незначителен.

Убегающая скорость ракеты, стоящей на Ганимеде (луне Юпитера) [закрыто]

Ауфвинд

Александр

Ауфвинд

Александр

Ответы (1)

Рон Маймон

РЕДАКТИРОВАТЬ: глупое упущение

РЕДАКТИРОВАТЬ: второй G?

Назаф

Рон Маймон

Запуск ракеты с горы

Скорость, чтобы бросить что-то в космос

Скорость убегания под углом

Почему v=GMr−−−√v=GMrv=\sqrt{\frac{GM}{r}} не является корректным уравнением для скорости убегания?

Можем ли мы медленно избежать гравитации Земли?

Прилагает ли оружие к выпущенной пуле достаточно силы тяжести, чтобы остановить ее?

Убегающая скорость спутников

Математическая связь между скоростью убегания и орбитальной скоростью

Формула скорости убегания

Запутался в гравитации и весе [закрыто]