Математическая связь между скоростью убегания и орбитальной скоростью

Я учусь в старшей школе, изучаю AP Physics C. Сейчас мы занимаемся гравитацией, и один из моих домашних вопросов звучит так:

Покажите, что скорость убегания$v_e$, от планеты связана со скоростью круговой орбиты около поверхности планеты,$v_c$, по следующему закону:$v_e = \sqrt 2 v_c$.

Я знаю, что при переходе из орбитального состояния в неограниченное состояние над системой объект-планета не должна совершаться никакая внешняя работа, поэтому я должен иметь возможность использовать закон сохранения энергии:

$$\begin{align} E_1 &= E_2 \\ K_c + U_{Gc} &= K_e \end{align}$$

Я решил положить радиус ограниченной орбиты равным$r_c$, масса объекта равна$m$, а масса планеты равна$M$.

$$\frac{1}{2}mv_c^2 - \frac{GmM}{r_c} = \frac{1}{2}mv_e^2$$

Как и ожидалось, масса$m$самого объекта не имеет значения:

$$\frac{1}{2}v_c^2 - \frac{GM}{r_c} = \frac{1}{2}v_e^2$$

Тут я сразу застреваю, так что попасть$M$и$r_c$вне уравнения я добавляю второе уравнение, которое интерпретирует силу гравитации, когда объект находится на связанной круговой орбите, как центростремительную силу:

$$\begin{align} F_c = ma_c &= F_G \\ m\frac{v_c^2}{r_c} &= \frac{GmM}{r_c^2} \\ v_c^2 &= \frac{GM}{r_c} \end{align}$$

Как чудесно! Я думаю. Я должен быть в состоянии заменить это обратно и решить для$v_e = \sqrt 2 v_c$. . . .

$$\begin{align} \frac{1}{2}v_c^2 - v_c^2 &= \frac{1}{2}v_e^2 \\ -\frac{1}{2}v_c^2 &= \frac{1}{2}v_e^2 \\ -v_c^2 &= v_e^2 \\ \sqrt{-v_c^2} &= v_e \\ \sqrt{-1}v_c &= v_e \end{align}$$

Ну, разве это не прекрасно? Классический нереальный ответ. Мое первое подозрение, что я сделал арифметическую ошибку, но я не могу ее найти. Теперь я думаю, что моя наиболее вероятная ошибка будет связана со знаками сил, поскольку я не использую единичные векторы для отслеживания направлений. (Моя таблица формул гласит: «$a_c = v^2/r = \omega^2r$" и "$\left\vert \vec{F}_G \right\vert = Gm_1m_2/r^2$.»)

Есть ли у кого-нибудь идеи о том, какие ошибки я сделал или какие шаги мне не удалось выполнить? Если можно, приведите несколько строк уравнения, показывающих ваш мыслительный процесс и замены, которые вы делаете.