Угловая скорость

Учитывая некоторую центральную точку$\vec c_1$, скорость этой точки$\vec v_{c_1}$относительно некоторой системы отсчета, а угловая скорость$\vec\omega$, скорость некоторой другой точки$\vec x$на твердом теле есть$\vec v_x = \vec v_{c_1} + \vec\omega \times (\vec x - \vec c_1)$.

Что, если какая-то другая точка$\vec c_2$выбирается в качестве центральной точки? Выражение для скорости точки$\vec x$становится$\vec v_x = \vec v_{c_2} + \vec\omega \times (\vec x - \vec c_2)$, где$\vec v_{c_2} = \vec v_{c_1} + \vec\omega \times (\vec c_2 - \vec c_1)$. Угловая скорость не меняется. Это то же самое, независимо от того, какую точку вы выбрали в качестве центральной точки. Угловая скорость является свободным вектором.

Обновите, потому что вышеизложенное, по-видимому, не удовлетворяет некоторых

Твердое тело — это объект, для которого существует такая система отсчета, что положение каждой точки на твердом теле постоянно с точки зрения этой системы отсчета. Другими словами,$(\frac {d\boldsymbol x}{dt})_F = 0$за каждую точку$x$в твердом теле с производной, взятой с точки зрения неподвижной системы координат$F$.

Предположим, в какой-то момент$t$ты знаешь место$\boldsymbol X(\boldsymbol c,t)$некоторой фиксированной точки$\boldsymbol c$на твердом теле в какой-то другой системе отсчета$I$. Расположение точки$\boldsymbol x$в этом другом кадре связано с положением точки$\boldsymbol c$с помощью

$$\boldsymbol X(\boldsymbol x,t) = \boldsymbol X(\boldsymbol c,t) + \boldsymbol{\mathrm R}_{F\to I}(t)(\boldsymbol x - \boldsymbol c) \tag{1}$$ где $\boldsymbol{\mathrm R}_{F\to I}(t)$это матрица вращения, которая преобразует координаты из кадра $F$к кадру $I$.

Предположим, вы знаете какую-то другую точку$\boldsymbol c'$, также закрепленный относительно твердого тела. Расположение точки$\boldsymbol c'$в нефиксированной рамке

$$\boldsymbol X(\boldsymbol c',t) = \boldsymbol X(\boldsymbol c,t) + \boldsymbol{\mathrm R}_{F\to I}(t)(\boldsymbol c' - \boldsymbol c)\tag2$$ Расположение точки $\boldsymbol x$в нефиксированном фрейме может быть повторно выражено в терминах $\boldsymbol c'$: $$\boldsymbol X(\boldsymbol x,t) = \boldsymbol X(\boldsymbol c',t) + \boldsymbol{\mathrm R}_{F\to I}(t)(\boldsymbol x - \boldsymbol c') \tag{3}$$ Дифференцируя уравнения (1) и (3) по времени, получаем $$\dot {\boldsymbol X}(\boldsymbol x,t) = \dot {\boldsymbol X}(\boldsymbol c,t) + \dot{\boldsymbol{\mathrm R}}_{F\to I}(t)(\boldsymbol x - \boldsymbol c) = \dot{\boldsymbol X}(\boldsymbol c',t) + \dot {\boldsymbol{\mathrm R}}_{F\to I}(t)(\boldsymbol x - \boldsymbol c') \tag4$$ Производная по времени матрицы преобразования $\boldsymbol{\mathrm R}(t)$из одной декартовой системы отсчета в другую можно записать как произведение этой матрицы и кососимметричной матрицы: $$\dot{\boldsymbol{\mathrm R}}(t) = \boldsymbol{\mathrm R}(t) \boldsymbol{\mathrm S}(t)$$ Это справедливо для евклидова пространства любой размерности. В трехмерном пространстве (и только в трехмерном пространстве) такая кососимметричная матрица может быть отображена в трехмерный псевдовектор и обратно: $$\dot{\boldsymbol{\mathrm R}}(t) = \boldsymbol{\mathrm R}(t) \operatorname{Sk}(\boldsymbol\omega(t))$$ Переписав уравнение (4) в терминах этого псевдовектора, $$\dot {\boldsymbol X}(\boldsymbol x,t) = \dot {\boldsymbol X}(\boldsymbol c,t) + \boldsymbol{\mathrm R}_{F\to I}(t)\left(\boldsymbol\omega\times(\boldsymbol x - \boldsymbol c)\right) = \dot{\boldsymbol X}(\boldsymbol c',t) + \boldsymbol{\mathrm R}_{F\to I}(t)\left(\boldsymbol\omega\times(\boldsymbol x - \boldsymbol c')\right)\tag5$$ Без ограничения общности можно выбрать нефиксированную систему отсчета, которая мгновенно совмещается с фиксированной системой отсчета во времени. $t$. При этом уравнение (5) сводится к $$\dot {\boldsymbol X}(\boldsymbol x,t) = \dot {\boldsymbol X}(\boldsymbol c,t) + \boldsymbol\omega\times(\boldsymbol x - \boldsymbol c) = \dot{\boldsymbol X}(\boldsymbol c',t) + \boldsymbol\omega\times(\boldsymbol x - \boldsymbol c')\tag6$$ Это, конечно, идентично тому, что я изначально написал.

Эта угловая скорость, выраженная в виде кососимметричной матрицы, одинакова независимо от того, какую точку вы выберете, поскольку начало координат применяется во всех евклидовых пространствах, в которых время является независимым параметром движения. Угловая скорость связана с производной по времени матрицы преобразования, и изменение начала координат не изменяет матрицу преобразования в аффинном преобразовании (например, уравнения (1)–(3) являются аффинными преобразованиями).

Эта угловая скорость, выраженная в виде псевдовектора, одинакова независимо от того, какую точку вы выбрали в качестве начала координат, только в трехмерных евклидовых пространствах, в которых время является независимым параметром движения. Эта специализация довольно важна, потому что мы, по-видимому, живем во Вселенной, которая локально представляется трехмерным евклидовым пространством, где время является независимым параметром движения. Другими словами, мы живем во Вселенной, где ньютоновская механика применима локально. Это контекст, в котором был задан этот вопрос и в котором я написал этот ответ.

Является ли угловая скорость твердого тела относительно какой-либо точки такой же, как и угловая скорость относительно оси вращения?

Угловая скорость не будет одинаковой для других опорных точек.

Это связано с тем, что ось вращения является единственным геометрическим местом в пространстве, до которого любая точка твердого тела будет сохранять одно и то же расстояние (радиус вращения) на протяжении всего вращения и, следовательно, одно и то же соотношение между линейной и угловой скоростями.

Так как радиус вращения для любой другой точки отсчета будет изменяться, отношение между линейной и угловой скоростями также будет меняться, поэтому при одинаковых линейных скоростях угловые скорости должны быть другими.

Кроме того, можем ли мы даже определить угловые термины (угловая скорость, угловое ускорение и т. д.) относительно любой оси, кроме оси вращения?

Согласно Википедии, «угловая скорость частицы — это скорость, с которой она вращается вокруг выбранной центральной точки».

Если мы не наложим никаких других ограничений, не будет очевидной причины, по которой угловая скорость не может быть измерена относительно какой-либо фиксированной точки в пространстве. Если бы эта точка не была зафиксирована, определение и измерение угла между последующими радиусами стало бы проблематичным. По этой логике альтернативная точка отсчета не должна находиться на вращающемся теле.

При таком определении мгновенная угловая скорость может быть измерена для любой траектории, не только круговой.

Конечно, если мы интерпретируем слово «центр» в определении как точку, которая должна оставаться на одном и том же расстоянии от любой данной вращающейся точки, мы не сможем определить угловую скорость относительно какой-либо другой точки пространства.

Добавил схему для наглядности.

Здесь$\omega$- исходная постоянная угловая скорость любой точки вращающегося твердого тела, определенная относительно центра вращения.$p_1$, пока$\omega'$переменная угловая скорость, определенная для одной и той же точки вращающегося твердого тела относительно произвольной неподвижной точки пространства,$p_2$. Очевидно,$\omega'\ne \omega$.