Связь между производной вектора вращения и угловой скоростью при постоянном угле поворота

Question

Связь между производной вектора вращения и угловой скоростью при постоянном угле поворота

Физика
вращение
угловая скорость
динамика твердого тела
динамика вращения
вращательная кинематика

Харальд

$\def\va{\vec{\alpha}} \def\vw{\vec{\omega}} \def\vn{\vec{n}}$ Позволять $\va(t)$ быть вектором вращения таким, что его направление является осью вращения, а его длина $\alpha=|\va|$ угол, описывающий поворот. В Есть ли формула для вектора вращения через вектор угловой скорости? формула

\vec{ю} "=" \dot{\vec{α}} + \frac{1 - потому что α}{α^{2}} (\vec{α} \times \dot{\vec{α}}) + \frac{α - грех α}{α^{3}} (\vec{α} \times (\vec{α} \times \dot{\vec{α}}))

$\vec{\omega}= \dot{\vec{\alpha}} + \frac{1 - \cos \alpha}{\alpha^2} \left(\vec{\alpha} \times \dot{\vec{\alpha}}\right) + \frac{\alpha - \sin \alpha}{\alpha^3} \left(\vec{\alpha} \times \left(\vec{\alpha} \times \dot{\vec{\alpha}}\right)\right)\,$ дано, которое связывает угловую скорость

\vec{ω}

$\vw$ к вектору вращения

\vec{α}

$\va$ и его производная по времени.

Если я умножу формулу на $\va$ , два сложных члена справа исчезают, потому что оба содержат векторное произведение $\va$ такое, что их скалярное произведение с $\va$ равен нулю. Я получил:

\begin{matrix} (1) & \vec{ю} \cdot \vec{α} "=" \dot{\vec{α}} \cdot \vec{α} \end{matrix}

$\vw\cdot\va = \dot\va\cdot\va \tag{1}$

Потому что $\vw$ и $\va$ параллельны, мы также имеем

\begin{matrix} (1) & ю α "=" \dot{\vec{α}} \cdot \vec{α} \end{matrix}

$\omega \alpha = \dot\va\cdot\va \tag{1}$

Теперь пусть $\va(t) = \alpha(t)\cdot \vn(t)$ для единичного вектора $\vn(t)$ . Тогда мы получаем

\dot{\vec{α}} (т) "=" \dot{α} (т) \cdot \vec{н} (т) + α (т) \cdot \dot{\vec{н}} (т) .

$\dot\va(t) = \dot\alpha(t) \cdot\vn(t) + \alpha(t)\cdot\dot\vn(t)\,.$

В случае $\alpha(t)=const$ , и опустив $(t)$ для лучшей читаемости это упрощается до $\dot\va = \alpha\cdot\dot\vn$ и подстановка в (1) приводит к

\begin{aligned} ю α "=" \vec{ю} \cdot \vec{α} & "=" α \vec{α} \cdot \dot{\vec{н}} \\ "=" α^{2} \vec{н} \cdot \dot{\vec{н}} \end{aligned}

$\begin{align} \omega\alpha = \vw\cdot\va &= \alpha \va \cdot\dot\vn\\ &= \alpha^2 \vn\cdot\dot\vn \end{align}$ Деление на

α

$\alpha$ мы получаем

ю "=" α \vec{н} \cdot \dot{\vec{н}} .

$\omega = \alpha\vn\cdot\dot\vn\,.$

С $\vn(t)$ является единичным вектором для каждого $t$ , любое изменение $\vn(t)$ всегда должен изменять только свое направление, но не длину, а это означает, что $\vn\cdot\dot\vn=0$ и поэтому

ю "=" 0

$\omega = 0$

в случае $\dot\alpha=0$ , даже для $\dot\vn\neq0$ .

Вопрос: Как может быть так, что ось вращения меняет свое направление, но $\omega$ и, следовательно, угловой момент равен нулю? Одно из моих предположений о том, как $\va$ работает, вероятно, неправильно. Но все, что я предположил, это то, что $\va$ это всего лишь три числа, которые меняются со временем и которые можно разложить на $\alpha\vn$ . OK, и что это соответствует формуле, приведенной для $\omega$ . Где ошибка? Или я могу изменить ось вращения без углового момента?

Ответы (1)

Связь между производной вектора вращения и угловой скоростью при постоянном угле поворота

пользователь197851 · Answer 1

Вначале вы делаете предположение, что $\vec{\omega}$ и $\vec{\alpha}$ параллельны. В целом это не так.

Возможно, это произошло из-за неправильного представления о значении $\vec{\alpha}(t)$ . Направление $\vec{\alpha}(t)$ не является мгновенной осью вращения. Переменные оси-угла дают вам вращение, необходимое для получения текущей ориентации тела (например, в момент времени $t$ ) относительно опорной ориентации (например, при $t=0$ ). Верно, что любую ориентацию можно выразить следующим образом: вращение $\alpha(t)$ об единичном векторе $\vec{n}(t)$ , который мы можем составить как комбинированный вектор $\vec{\alpha}(t)\equiv \alpha(t)\vec{n}(t)$ . Но это вращение зависит от всей истории траектории до времени $t$ , и, как было ясно указано на странице, на которую вы ссылались, существует ли формула для вектора вращения с точки зрения вектора угловой скорости? , отношение довольно сложное. Нет особой причины, по которой ось $\vec{n}(t)$ описание текущей ориентации должно иметь какое-либо отношение к направлению текущей угловой скорости $\vec{\omega}(t)$ .

Можно представить себе частный случай, когда это верно: это простой случай, когда $\vec{n}$ была постоянной на протяжении всей траектории, и оба $\vec{\omega}$ и $\vec{\alpha}$ были параллельны $\vec{n}$ за все время. Так

\vec{ю} (т) "=" ю (т) \vec{н} и \vec{α} (т) "=" α (т) \vec{н}

$\vec{\omega}(t)=\omega(t)\vec{n} \qquad\text{and}\qquad \vec{\alpha}(t)=\alpha(t)\vec{n}$ Тогда угол поворота

α (t)

$\alpha(t)$ это просто интеграл по времени от величины угловой скорости

ω (t)

$\omega(t)$ . Однако в этом случае все менее интересно. Второй и третий члены вашего первого уравнения равны нулю, поэтому

\vec{ю} "=" \dot{\vec{α}} и ю "=" \dot{α}

$\vec{\omega}=\dot{\vec{\alpha}}\qquad\text{and}\qquad \omega=\dot{\alpha}$ Ваш вывод верен, пока мы не перейдем к частному случаю.

α (t) =

$\alpha(t)=$ константа, что, конечно, правильно подразумевает

ω (t) = 0

$\omega(t)=0$ . Но, как и следовало ожидать, для этого особого случая это не иллюстрирует ничего неправильного.

Связь между производной вектора вращения и угловой скоростью при постоянном угле поворота

Харальд

Ответы (1)

пользователь197851

Есть ли формула для вектора вращения через вектор угловой скорости?

Какова формула композиции двух векторов вращения ось-угол?

Связь между центростремительным и угловым ускорением?

Угловой момент и ассиметричная ось

Угловая скорость

Головоломка: относительное движение двух точек на вращающемся диске.

Обладает ли вращающийся стержень поступательной и вращательной кинетической энергией?

Как рассчитать линейную и вращательную скорость от нескольких двигателей в космосе

Почему вращающееся тело имеет одинаковую угловую скорость и ускорение

Вопрос о теореме о теннисной ракетке с вырожденными собственными значениями I1,I2,I3I1,I2,I3I_1, I_2 , I_3