Уравнение Лиувилля и иерархия ББГКИ.

Уравнение Лиувилля для$N$системы частиц, описывает эволюцию во времени плотности вероятности N-частиц фазового пространства, которую вы также можете аккуратно переписать с помощью оператора Лиувилля:$f^{N}(t)= e^{-iLt}f^{N}(0).$Теперь почти всегда нас интересует меньшее подмножество только$n$частиц, для которых затем мы должны определить редуцированную функцию распределения в фазовом пространстве, полученную путем интегрирования оставшихся степеней свободы ($6(N-n)).$Таким образом, уменьшенный$f^n$имеет вид:

$$f^n (\mathbf{r}^n,\mathbf{p}^n,t) = \frac{N!}{(N-n)!}\int f^N(\mathbf{r}^N,\mathbf{p}^N,t)d\mathbf{r}^{N-n}d\mathbf{p}^{N-n}$$ Для наших целей здесь, чтобы вывести уравнение движения для $f^n,$давайте рассмотрим более простой общий гамильтониан: $$\frac{\partial H}{\partial \mathbf{r}_i}=-\mathbf{X}_i-\sum_{j=1}^{N}\mathbf{F}_{ij}$$ С $\mathbf{X}$обозначает внешние силы из-за внешнего поля и $\mathbf{F}_{ij}$парное межчастичное взаимодействие. Подставляя в уравнение Лиувилля, для $f^N,$с небольшой перестановкой: $$\left(\frac{\partial}{\partial t}+\sum_{i=1}^{N}\frac{\mathbf{p}_i}{m}\frac{\partial}{\partial\mathbf{r}_i}+\sum_{i=1}^N \mathbf{X}_i\frac{\partial}{\partial \mathbf{p}_i}\right)f^N=-\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{N}\mathbf{F}_{ij}\frac{\partial f^N}{\partial \mathbf{p}_i}$$ Теперь, интегрируя нежелательные $6(N-n)$степеней свободы, получаем: $$\left(\frac{\partial}{\partial t}+\sum_{i=1}^{n}\frac{\mathbf{p}_i}{m}\frac{\partial}{\partial\mathbf{r}_i}+\sum_{i=1}^n \mathbf{X}_i\frac{\partial}{\partial \mathbf{p}_i}\right)f^n=-\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\mathbf{F}_{ij}\frac{\partial f^n}{\partial \mathbf{p}_i}- \underbrace{\frac{N!}{(N-n)!}\sum_{i=1}^n \sum_{j=n+1}^N \iint \mathbf{F}_{ij} \frac{\partial f^N}{\partial \mathbf{p}_i} d\mathbf{r}^{N-n}}_{(*)} d\mathbf{p}^{N-n}$$ Обратите внимание, что все термины с $i>n$исчезли, чтобы обеспечить допустимую функцию плотности $f^n$для подпространства. Работая здесь с идентичными частицами, мы знаем $f^N$симметричен относительно перестановки меток отдельных частиц и второй суммы в $(*)$от $n+1$к $N$можно заменить на $N-n$умноженное на значение любого одного члена (одинаковые частицы). С этим упрощением мы можем переписать приведенное выше уравнение как: $$\left(\frac{\partial}{\partial t}+\sum_{i=1}^{n}\frac{\mathbf{p}_i}{m}\frac{\partial}{\partial\mathbf{r}_i}+\sum_{i=1}^n \left(\mathbf{X}_i +\sum_{j=1}^n \mathbf{F}_{ij}\right)\frac{\partial}{\partial \mathbf{p}_i}\right)f^n=-\sum_{i=1}^n \iint \mathbf{F}_{i,n+1} \frac{\partial f^{n+1}}{\partial \mathbf{p}_i} d\mathbf{r}_{n+1} d\mathbf{p}_{n+1}$$ Мы вывели иерархию ББГКИ для относительно менее общего гамильтониана. Но обратите внимание, что это точное выражение в его нынешнем виде, связывающее плотность фазового пространства одной частицы с плотностью двух частиц, которая сама связывает трехчастную... вплоть до плотности фазового пространства N частиц. Хотя на практике такое выражение малопригодно (во-первых, мы не знаем ни одного из $f^n$s), он может стать полезным, предоставив некоторую форму отношения замыкания, другими словами, без отношения замыкания все, что делает BBGKY, это: выражает одну неизвестную функцию плотности $f^n$с точки зрения другого неизвестного $f^{n+1}.$Однако оно не представляет собой эквивалентную формулировку уравнения Лиувилля для $f^N$когда вы устанавливаете $n=N$, это только дает вам связь с функцией плотности подпространств N, которую вы до сих пор не знаете. Если закрытие не предусмотрено, BBGKY не очень полезен! Взгляните на книгу Дж. П. Хансена и И. Р. Макдональда для более подробного освещения.