Уравнение репликатора против уравнения Лотки-Вольтерры

Фон

Уравнение репликатора с$n$стратегии задается дифференциальным уравнением:

$$\begin{equation} \dot x_{i} = x_{i} \left( \sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_{j} - \phi \right) \qquad i = 1, \ldots, n \end{equation}$$ куда $x_i$частота стратегии $i$, $A=[a_{ij}]$матрица выплат, а $\phi$- средняя приспособленность населения. По сути, уравнение репликатора говорит о том, что скорость роста стратегии $i$(т.е., $\dot x_i/ x_i$) есть разница между пригодностью $i$(т.е., $\sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_{j}$) и средней пригодности $\phi$всего населения.

Уравнение Лотки-Вольтерра с$n-1$вид это:

$$\begin{equation} \dot y_{i} = y_{i} \left(r_{i} + \sum_{j=1}^{n-1} b_{ij}y_{j}\right) \qquad i=1, \ldots , n-1 \end{equation}$$ куда $y_i$это обилие видов $i$, $r_i$собственная скорость роста и $b_{ij}$описывает, как виды $i$а также $j$взаимодействовать ( вики-запись об уравнении Лотка-Вольтерра ).

Согласно книге Новака « Эволюционная динамика », эти два уравнения эквивалентны друг другу (один и тот же результат появляется в « Эволюционных играх и динамике населения » Хофбауэра и Зигмунда ). Это отличный результат, потому что он показывает, что результаты в экологии, основанные на уравнении Лотки-Вольтерры, имеют теоретико-игровую интерпретацию, и наоборот.

Вопрос

Это означало бы, что уравнение репликатора для двух стратегий (например, игра Ястреб-Голубь) эквивалентно одному виду, взаимодействующему с самим собой по уравнению Лотки-Вольтерра. Как это могло быть? Уравнение репликатора описывало бы частоту двух стратегий в популяции, но эквивалентное уравнение Лотки-Вольтерра описывало бы эволюцию одной и недифференцированной популяции. Моя проблема заключается не столько в доказательстве эквивалентности между этими двумя уравнениями (Хофбауэр и Зигмунд приводят доказательство этой эквивалентности в своей книге), сколько в интерпретации эквивалентности между двумя уравнениями.