Определение поправочных членов для эквивалентной формы релятивистского уравнения Шрёдингера

Question

Определение поправочных членов для эквивалентной формы релятивистского уравнения Шрёдингера

преподобный

Я читаю книгу Масао Нагасавы «Стохастические процессы в квантовой физике» , и у меня возникли проблемы с тем, чтобы понять следующий результат. Буду очень признателен за любую помощь. Дело в том, что теорема 7.2.1 говорит, что если $\psi(x,t)=\exp(R(x,t)+iS(x,t))$ , где $R$ и $S$ вещественны, удовлетворяет релятивистскому уравнению Шрёдингера

я \partial_{т} ψ "=" (\sqrt{- с^{2} Δ + м^{2} с^{4}} - м с^{2}) ψ

$i\partial_t \psi=\left(\sqrt{-c^2\Delta+m^2c^4 }-mc^2\right)\psi$ затем

ϕ_{\pm} (x, t)

$\phi_{\pm}(x,t)$ определяется как

ϕ_{\pm} (x, t) = \exp (R (x, t) \pm S (x, t))

$\phi_{\pm}(x,t)=\exp(R(x,t)\pm S(x,t))$ удовлетворить

\pm \partial_{т} ф_{\pm} - в (Икс, т) ф_{\pm} "=" (\sqrt{- с^{2} Δ + м^{2} с^{4} + с {\nabla, Б (Икс, т)} + в (Икс)^{2}} - м с^{2}) ф_{\pm}

$\pm\partial_t \phi_{\pm}-v(x,t)\phi_{\pm}=\left(\sqrt{-c^2\Delta+m^2c^4 +c\{\nabla, \textbf{B}(x,t)\}+v(x)^2}-mc^2\right)\phi_{\pm}$ где

v (t, x)

${v}(t, x)$ и

B (t, x)

$\textbf{B}(t, x)$ определяются уравнениями

\begin{matrix} (1) & с Б \cdot \nabla р - в \frac{\partial р}{\partial т} + \frac{\partial^{2} С}{\partial т^{2}} + 2 \frac{\partial р}{\partial т} \frac{\partial С}{\partial т} "=" 0 \end{matrix}

$c\textbf{B} \cdot \nabla R-v \frac{\partial R}{\partial t}+\frac{\partial^{2} S}{\partial t^{2}}+2 \frac{\partial R}{\partial t} \frac{\partial S}{\partial t}=0 \tag{1}$

\begin{matrix} (2) & с Б \cdot \nabla С - в (\frac{\partial С}{\partial т} - м с^{2}) + с^{2} Δ р + с^{2} (\nabla р)^{2} + {(\frac{\partial С}{\partial т})}^{2} "=" 0 \end{matrix}

$c\textbf{B}\cdot \nabla S-v\left(\frac{\partial S}{\partial t}-mc^2\right)+c^{2} \Delta R+c^{2} (\nabla R)^{2}+\left(\frac{\partial S}{\partial t}\right)^{2}=0 \tag{2}$ в калибровочном состоянии

с \nabla \cdot Б "=" \frac{\partial в}{\partial т}

$c\nabla \cdot \textbf{B}=\frac{\partial v}{\partial t}$

Чего я не понимаю, так это следующего утверждения: на стр. 239 написано, что можно определить сроки коррекции $\textbf{B} (t, x)$ и $v(t, x)$ векторного и скалярного потенциалов с использованием уравнений (1) и (2). Вот что не понимаю, я не понимаю, как можно вычислить $\textbf{B}$ и $v$ из этих уравнений. Возможно, я мог бы добавить, что в конечном итоге меня интересует нерелятивистский предел. $c\to+\infty$ , поэтому идеальным было бы иметь замкнутое выражение для поправочных членов $\textbf{B}$ и $v$ .

Ответы (1)

Определение поправочных членов для эквивалентной формы релятивистского уравнения Шрёдингера

Джейкоб А · Answer 1

Это был слишком длинный ответ для комментария, но я надеюсь, что он может помочь:

В пределе $c \to \infty$ , ваши уравнения сводятся к

\begin{matrix} (1) & Б \cdot \nabla р "=" 0 \end{matrix}

$\textbf{B} \cdot \nabla R=0 \tag{1}$

\begin{matrix} (2) & м в + Δ р + (\nabla р)^{2} "=" 0 \end{matrix}

$mv+ \Delta R+ (\nabla R)^{2}=0 \tag{2}$ с нерелятивистским калибровочным условием

\nabla \cdot B = 0

$\nabla \cdot {\bf B} = 0$ . Таким образом, мы обычно можем принять

B = \nabla \times A

${\bf B}=\nabla \times A$ для некоторого векторного потенциала

A

$A$ . Однако я замечаю, что это строго одномерная задача, поэтому мы имеем

B = k + f (t)

${\bf B}=k + f(t)$ , постоянная плюс некоторая функция во времени. Кроме того,

R

$R$ является одномерным, поэтому мы можем переписать эти уравнения как

\begin{matrix} (1*) & (к + ф (т)) \cdot р^{'} (Икс) "=" 0 \end{matrix}

$(k+f(t)) \cdot R'(x) = 0 \tag{1*}$

\begin{matrix} (2*) & м в + р^{″} (Икс) + (р^{'} (Икс))^{2} "=" 0 \end{matrix}

$mv+R''(x)+(R'(x))^2=0 \tag{2*}$ похоже, что уравнение 1 можно упростить до

R (x) = n

$R(x)=n$ , другая константа. В общем, это постоянное решение кажется довольно обыденным, поэтому, надеюсь, кто-то сможет пролить свет на эту проблему.

Привет Яков, большое спасибо за ваш ответ. Нерелятивистский предел уравнений (1) и (2), который у вас есть, — это именно то, что я ожидал. Однако я не могу не заметить, что $R$ , $S$ , и $v$ может зависеть от $c$ ( $R$ и $S$ скорее всего, как решение релятивистского уравнения Шредингера), поэтому я не уверен, как можно утверждать, что этот предел является правильным?

Определение поправочных членов для эквивалентной формы релятивистского уравнения Шрёдингера

преподобный

Ответы (1)

Джейкоб А

преподобный

«Почему» уравнение Шрёдингера нерелятивистское?

Почему в уравнении Шредингера нет члена mc2mc2mc^2?

Можно ли полностью заключить релятивистскую квантовую частицу в конечную дырку?

Можем ли мы вывести уравнение Шредингера из уравнения Клейна-Гордона?

Где остальное? - Уравнение Шрёдингера для свободной частицы, положение которой известно

Что такое релятивистские и радиационные эффекты (в квантовом моделировании)?

Объяснение уравнения, показывающее неудачный подход к релятивизации уравнения Шредингера

Пределы, используемые для нахождения неотносительного предела уравнения Клейна-Гордона

Временная часть квантовой волновой функции

Уравнение Шредингера и специальная теория относительности