Уравнение Шрёдингера для свободной частицы: пропагатор

Я просматриваю «Принципы квантовой механики» Шанкара и не могу найти свободный распространитель частиц.$U(t)$что удовлетворяет

$$\lvert\psi (t)\rangle = U(t)\lvert\psi (0)\rangle$$ из-за вырождения$E$собственные схемы. Шанкар говорит, что если гамильтониан имеет вырожденные собственные значения, мы меняем уравнение пропагатора с $$U(t) = \sum_{E} \lvert E\rangle\langle E\rvert e^{-iEt/{\hbar}}\tag{4.3.13}$$ к $$U(t) = \sum_{E} \sum_\alpha \lvert E, \alpha\rangle\langle E, \alpha\rvert e^{-iEt/\hbar}$$ где$\lvert E, \alpha \rangle$являются ортонормированными собственными$E$собственное пространство. Для меня это имеет смысл, потому что кажется, что всякий раз, когда мы имеем дело с вырождением, нужно использовать проекцию. Он также говорит, что для гамильтониана без вырождения сумма превращается в интеграл, поэтому я полагаю, что для гамильтониана с непрерывным вырожденным спектром у нас был бы этот пропагатор: $$U(t) = \sum_\alpha\int_\Re dE\lvert E, \alpha\rangle\langle E, \alpha\rvert e^{-iEt/\hbar}$$

Я попытался применить это к свободной частице и столкнулся с проблемой. В книге, после решения собственных схем и собственных значений,$\lvert E\rangle = \lvert p\rangle$и$p = \pm\sqrt{2mE}$, он выбирает пропагатор как функцию собственных значений импульса$p$так что

$$U(t) = \int_\Re dp\lvert p\rangle\langle p\rvert \exp(-ip^2t/2m).\tag{5.1.9}$$ Я понимаю, как он к этому пришел, но у меня возникли некоторые проблемы, потому что это не похоже на то выражение, которое у меня выше. Разбивая интеграл вверх, имеем $$U(t) = \int_{-\infty}^0dp\lvert p\rangle\langle p\rvert \exp(-ip^2t/2m) + \int_0^\infty dp\lvert p\rangle\langle p\rvert \exp(-ip^2t/2m)$$ Левый интеграл можно заменить интегралом по$-p$, и границы переключаются с$0$к$\infty$так что: $$U(t) = \int_{0}^\infty d(-p)\lvert -p\rangle\langle -p\rvert \exp(-ip^2t/2m) + \int_0^\infty dp\lvert p\rangle\langle p\rvert \exp(-ip^2t/2m)$$ Теперь мы можем заменить и поменять местами$\lvert p\rangle = \lvert E, + \rangle$,$\lvert -p\rangle = \lvert E, - \rangle$,$E = p^2/2m$, и$dp = \pm mdE/\sqrt{2mE}$получить: $$U(t) = \sum_{\alpha = \pm} \int_0^\infty dEm/\sqrt{2mE}\lvert E, \alpha\rangle\langle E, \alpha\rvert e^{-iEt/\hbar}.$$ Это результат, который нас просят доказать в упражнении 5.1.1. Почему это не то же самое, что и первое выражение для пропагатора? Откуда взялось доп.$m/\sqrt{2mE}$родом из? Я просто ошибаюсь, предполагая, что это общее выражение для гамильтониана с непрерывными и вырожденными собственными значениями?