Как получить пропагатор свободных частиц в 2D?

Я пытаюсь получить следующее выражение пропагатора свободных частиц в 2D, заданное формулой

р 0 ( р , р ′ , β ) "=" ⟨ р ′ | е − β ЧАС ^ | р ⟩ "=" 1 4 π β е − ( р − р ′ ) 2 4 β
где ЧАС ^ "=" − ∇ р 2 является гамильтонианом свободных частиц в 2D, и где мы предполагали ℏ 2 2 м "=" 1 .

В первой попытке я попытался предположить вращательную инвариантность волновой функции ψ ( р , θ ) "=" 1 2 π р ( р ) (таким образом, рассматривая только s-волновые решения), что дает решения уравнения Шредингера в виде функций Бесселя нулевого порядка. К сожалению, я не могу согласовать эти результаты с приведенным выше уравнением.

Ответы (1)

Вы также приняли β "=" я т / ℏ . Две декартовские части проблемы не сообщаются друг с другом, поэтому они факторизуются. С какой стати вам идти к полярным координатам?

Ваш ответ — тривиальное 2D-гауссово преобразование Фурье, то есть простое произведение двух полностью несвязанных 1D-пропагаторов!

р 0 ( р , р ′ , β ) "=" ⟨ р ′ | е − β ЧАС ^ | р ⟩ "=" ⟨ р ′ | е − β ЧАС ^ ∫ г к   | к ⟩ ⟨ к | р ⟩ "=" ∫ г к   е я к ⋅ ( р ′ − р ) 4 π 2 е − β к 2 "=" 1 4 π β е − ( р − р ′ ) 2 / 4 β ∴

Как получить пропагатор свободных частиц в 2D?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v