Уравнение звуковой волны: граничные условия Неймана

В данной работе описано решение уравнения затухающей волны в цилиндрических координатах

$$\nabla^2\left(c^2\rho_1+\nu\frac{\partial\rho_1}{\partial t}\right)-\frac{\partial^2\rho_1}{\partial t^2}=0$$

где$\rho_1$- разность плотности относительно невозмущенного состояния$\rho_0$.

Применяемое граничное условие

$$\mathbf{v}\big|_{r=r_0}=v_A\cos(\omega t)\mathbf{\hat{r}}$$

где$v$есть скорость жидкости.

Они утверждают, что это граничное условие можно переписать как

$$\begin{equation} \frac{\partial\rho_1}{\partial r} \bigg|_{r=r_0}=\frac{\rho_0v_A\omega c^2}{\nu^2\omega^2+c^4}\sin(\omega t)-\frac{\rho_0v_A\omega^2 \nu}{\nu^2\omega^2+c^4}\cos(\omega t)\tag{1} \end{equation}$$

просто внушительный$\nabla\times \mathbf{v}=\mathbf{0}$и используя уравнения сохранения массы и импульса

$$\frac{\partial\rho_1}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho_0 \mathbf{v}) =0$$ $$\frac{\partial}{\partial t}(\rho_0 \mathbf{v})+c^2\nabla\rho_1+\nabla \cdot \mathbf{D}_1=\mathbf{0}$$

где$\mathbf{D}_1$– тензор вязких напряжений.

Можно доказать, что если$\nabla\times \mathbf{v}=0$, затем$\nabla \cdot \mathbf{D}_1 = -\nu\nabla^2\mathbf{v}$.

Я очень старался, но не смог доказать уравнение$(1)$. Вы знаете, как действовать?

Ссылка:

Юан Маклеода и Крейг Б. Арнольд, Оптимизация механики и преломляющей способности настраиваемых линз с акустическим градиентом , Журнал прикладной физики, 2007 г., 102: 3