Определяют ли стационарные гамильтонианы замкнутые системы?

  1. В классической механике каждый стационарный гамильтониан представляет собой замкнутую динамическую систему?

  2. Можно ли представить любую замкнутую динамическую систему в виде стационарного гамильтониана? Или существуют замкнутые динамические системы, которые не могут быть описаны стационарным гамильтонианом?

  3. Являются ли те, которые не могут быть описаны стационарным гамильтонианом, «нефизическими»?

По сути, дубликат physics.stackexchange.com/q/175021/2451 .
Хм - я не уверен, что это дубликат. ОП в этом случае, вероятно, хочет более широкой физической интуиции, а не математики. Я думаю, стоит иметь оба вопроса, чтобы дополнять друг друга!

Ответы (1)

Вы путаете два определения - закрытая система и сохранение энергии. Я проясню их для вас.

В классической динамике замкнутая система — это система, на которую не действует никакая внешняя по отношению к системе сила. В замкнутой системе должны сохраняться полная энергия, полный импульс и полный угловой момент. Это следует из теоремы Нётер. Если a не взаимодействует с внешним миром, то мы ожидаем, что он будет подчиняться пространственно-временным симметриям. Тогда теорема Нётер гарантирует указанные выше сохраняющиеся величины.

А2. Да, любую замкнутую динамическую систему можно представить в виде стационарного гамильтониана.

Обратите внимание, что это определение замкнутой системы не совпадает с определением замкнутой системы в термодинамике. По сути, замкнутая система в классической динамике — это то же самое, что и изолированная система в термодинамике. Это довольно раздражает, что есть это злоупотребление номенклатурой - я предполагаю, что это историческое!

Наши лучшие фундаментальные теории предполагают, что мы можем описать Вселенную как замкнутую систему. Поэтому в некотором смысле вся физика сводится к этому случаю. Однако просто описывать вещи в терминах закрытых систем совершенно непрактично. В конце концов, большинство экспериментов, которые мы проводим, проводятся не в закрытой системе. Например, в данный момент мы все сидим в гравитационном поле Земли. Поэтому удобно (и вполне физически) описывать мир в терминах более общих незамкнутых систем.

А3. Нет. По сути, мы считаем, что вся физика описывается замкнутыми системами, которые имеют инвариантные во времени гамильтонианы. Но иногда удобно описывать части системы отдельно. Это совершенно физическая вещь! Нет причин, по которым части системы должны иметь инвариантные во времени гамильтонианы или вообще подчиняться какой-либо симметрии.

Наконец, мы подошли к вопросу сохранения энергии . Полная энергия сохраняется тогда и только тогда, когда гамильтониан не зависит от времени. Но заметьте, что это менее строгое условие, чем наличие закрытой системы с классической динамикой. Например, для частицы, движущейся в центральном поле, сохраняется энергия, а не импульс. Мы не можем описать эту ситуацию как замкнутую систему (поскольку существует внешняя сила), но мы можем сказать, что ее гамильтониан не зависит от времени.

А1. Нет, существуют инвариантные во времени гамильтонианы, которые не подчиняются другим пространственно-временным симметриям, так что не описывайте замкнутые системы!

Спасибо за ваш ответ, он действительно прояснил ситуацию :) Пытаясь лучше понять, что означает наличие (инвариантного во времени) гамильтониана, я нашел этот phys.SE , где во втором ответе упоминаются две энергосберегающие системы, которые не являются гамильтоновыми. Однако вы сказали, что энергия сохраняется только в том случае, если система имеет инвариантный во времени гамильтониан. Что мне не хватает?
Отличный вопрос. Есть тонкая разница между «иметь гамильтониан» и «быть гамильтоновой системой». Последнее обычно означает, что вы можете описывать вещи с помощью скобок Пуассона. Все неограниченные закрытые системы, с которыми я когда-либо сталкивался, можно описать как гамильтоновы системы. Однако я не могу найти доказательств этого. Когда у вас есть ограничения (в частности, неголономные), закрытые системы не обязательно должны быть гамильтоновыми, как показано в этой презентации.
Обратите внимание, что и сани, и погремушка попадают в категорию закрытых систем с неголономными ограничениями. Это объясняет примеры в вашем связанном вопросе. Могут быть и другие обстоятельства, при которых закрытые системы не являются гамильтоновыми, но вам, вероятно, понадобится эксперт по динамическим системам, чтобы ответить на этот вопрос!
Таким образом, мы могли бы сказать, что система имеет инвариантный во времени гамильтониан тогда и только тогда, когда она голономна и сохраняет энергию. Я бы сказал, что это довольно ограниченный класс, тогда я не понимаю, что за ерунда с гамильтоновой механикой. Знаете ли вы, есть ли такие ограничения у квантовых систем с инвариантным во времени гамильтонианом?
Дело в том, что наличие стационарного гамильтониана не гарантирует, что вы сможете описать динамику с помощью скобок Пуассона! Вот почему вопрос немного тонкий. Квантовые системы должны иметь гамильтониан и коммутационные соотношения по определению, что автоматически обходит такие проблемы.
Не знаю, зачем описывать динамику скобками Пуассона (краткость?). Знаете ли вы ссылку, где я могу узнать о разнице между «наличием гамильтониана» и «быть гамильтоновой системой»? Как это различие проявляется в ньютоновской механике?
Определяют ли стационарные гамильтонианы замкнутые системы?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v