Независимость обобщенных координат и импульсов в гамильтоновой механике [дубликат]

Как отмечается в комментариях, преобразование из$(q_{i},\dot{q}_{i})$координаты на$(q_{i},p_{i})$координаты являются примером преобразования Лежандра. Неформально говоря, это позволяет использовать разные координаты для описания системы, сохраняя при этом всю информацию о системе.

В соответствии с общей формулировкой преобразования Лежандра используем уравнение

$p_{i} = \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}} \hspace{1em} (1)$

неявно определить$\dot{q}_{i}$с точки зрения$p_{i}$и$q_{i}$. Чтобы увидеть, как это работает в более простой обстановке, мы можем определить переменную$y$как

$y = 2x +1$.

В этом смысле мы можем рассматривать$y$как функция$x$. Однако мы также можем обратить это соотношение, чтобы найти$x$с точки зрения$y$, который дает

$x = \dfrac{1}{2}(y-1)$,

так что здесь мы видим$x$как функция$y$. Дело в том, что у нас есть одна независимая переменная и одна зависимая переменная, но мы вольны выбирать, что есть что. В классической механике картина немного усложняется тем, что теперь у нас есть 2 независимые переменные, но принцип остается тем же: уравнение (1) можно рассматривать как выражающее либо$p_{i}$с точки зрения$q_{i}$и$\dot{q}_{i}$, или как выражение$\dot{q}_{i}$с точки зрения$p_{i}$и$q_{i}$, и мы вольны выбирать интерпретацию, соответствующую нашим целям.