Уравнения Максвелла, нелинейные среды и динамический отклик

Уравнения Максвелла в вакууме с диэлектрической проницаемостью ϵ 0 и магнитная проницаемость мю 0 даются как:

∇ ⋅ Е → "=" р ϵ 0
∇ ⋅ Б → "=" 0
∇ × Е → "=" − ∂ Б → ∂ т
∇ × Б → "=" мю 0 Дж → + ϵ 0 мю 0 ∂ Е → ∂ т

На материальных носителях, ϵ и мю больше или меньше, чем ϵ 0 и мю 0 и может зависеть от Икс → и даже от направления поляризации.

Все это кажется мне нормальным на первый взгляд. Однако в нелинейных средах ϵ и мю зависит от Е → и Б → . Так, для нелинейных сред уравнения Максвелла часто записывают так:

∇ ⋅ Е → "=" р ϵ ( Е → , Б → )
∇ ⋅ Б → "=" 0
∇ × Е → "=" − ∂ Б → ∂ т
∇ × Б → "=" мю ( Е → , Б → ) Дж → + ϵ ( Е → , Б → ) мю ( Е → , Б → ) ∂ Е → ∂ т

(В качестве дальнейшего обобщения, ϵ и мю иногда представляются в виде тензоров, компоненты которых являются функциями Е → и Б → , но это не важно для текущего вопроса.)

Моя проблема с нелинейной версией уравнений Максвелла для материальных сред состоит в том, что она, по-видимому, предполагает мгновенную реакцию материала на изменение Е → и Б → , в то время как кажется, что любой физически правдоподобный материал может реагировать только за конечное время. Это все равно, что сказать, что длина пружины пропорциональна приложенной силе, что верно только тогда, когда приложенная сила изменяется очень медленно. То есть я ожидаю, что любой реальный материал будет иметь динамическую реакцию на изменение Е → и Б → .

Если это так, то кажется, что лучше указать спецификацию ϵ и мю быть в виде дифференциальных или интегральных уравнений, включая время. Конечно, это сильно усложнило бы математику, но с точки зрения физики это было бы более правдоподобно. Мой вопрос: существует ли форма уравнений Максвелла в нелинейных средах, учитывающая динамическую реакцию среды? Дополнительным вопросом будет: «Существует ли лоренц-ковариантная форма этих уравнений?»

Уравнение Максвелла учитывает динамический отклик, позволяя показателю преломления быть комплексным числом. Это позволяет учитывать разницу фаз между внешним полем и поляризационным откликом. Это справедливо для линейного и нелинейного отклика.
Насколько я понимаю, комплексный показатель преломления позволяет поглощать и усиливать электромагнитные волны, проходящие через среду. Я не понимаю, как этого было бы достаточно для объяснения более общего динамического отклика.
С этим трудно поспорить. Можете ли вы привести пример, когда это не сработает?
Вы спрашиваете, могу ли я привести контрпример к идее о том, что комплексный показатель преломления допускает поглощение и усиление электромагнитных волн, проходящих через среду?
Я думаю, что комплексный показатель преломления не делает уравнения Максвелла нелинейными, поэтому не описывает электромагнетизм в нелинейной среде.
Нет причин, по которым комплексный показатель преломления не может зависеть от поля. Линейный или нелинейный, комплексный показатель преломления учитывает динамику.
Хорошо, вот контрпример: представьте себе среду, состоящую из микроскопических ящиков, содержащих проводящий, но очень резистивный материал, разделенных очень тонким, совершенно непроводящим материалом. Если на среду наложить электрическое поле, она может не достичь равновесия в течение нескольких секунд. Еще лучше, пусть проводящая среда имеет проводимость, зависящую от поля.
На самом деле второй набор MW-уравнений кажется неправильным. Обычно эпсилон зависит от пространства (по крайней мере, на границе) и его из-под дивергенции не вытащишь.

Ответы (2)

То, о чем вы говорите, это дисперсия. Дисперсия не обязательно является нелинейным явлением, она возникает и в линейных средах. Более того, вы можете иметь пространственную и временную дисперсию. Временная дисперсия означает, что реакция системы зависит от того, что представляет собой стимул в данный момент, а также от того, каким он был ранее. Пространственная дисперсия означает, что ваш материальный отклик в положении А зависит от того, что делает поле в этом положении. Б ≠ А

Есть много способов объяснить эти явления, я лишь перечислю, как это делается в диэлектриках. Другие обобщения аналогичны

В нетривиальной дилектике у вас было бы

∇ . Д "=" 0

∇ . Б "=" 0

∇ × Е "=" − ∂ т Б

∇ × Б "=" мю 0 ∂ т Д

Теперь вы можете вставить всю свою сложную материальную реакцию в смещение. Хотите временную дисперсию (линейный случай)? Ну вот:

Д ( т , р ) "=" ϵ 0 ∫ − ∞ т г т ′ ϵ р ( т − т ′ , р ) . Е ( т ′ , р )

Пространственная дисперсия (линейная)?

Д ( т , р ) "=" ϵ 0 ∫ г 3 р ′ ϵ р ( т , р − р ′ ) . Е ( т , р ′ )

Для нелинейного отклика вы играете в аналогичные игры, но склонны использовать плотность поляризации, т.е. п "=" Д − ϵ 0 Е . Нелинейность второго порядка с временной дисперсией:

п ( т , р ) "=" ∫ − ∞ т г т ′ ∫ − ∞ т г т ″ х ( 2 ) ( т − т ′ , т − т ″ , р ) . Е ( т ′ , р ) . Е ( т ″ , р )

и т.д... Большинство книг по нелинейной оптике посвящено этому

PS: ϵ р - тензор относительной перимитативности, х ( 2 ) – тензор восприимчивости второго порядка.

Собственно, я специально не спрашиваю о дисперсии. Меня интересует, как описать нелинейность поля/материала в лагранжевом ковариантном виде.
Извини, моя ошибка. Ну, а можно не пойти по тому же пути, но вместо поляризации у вас будет асимметричный тензор поляризации-намагничивания ранга 2, который является функцией электромагнитного тензора? После того, как вы сделали это, можно исследовать, как внести в него дисперсию, но вы, вероятно, в конечном итоге получите некоторую передаточную функцию, интегрирующую «прошлую» половину светового конуса для рассматриваемой точки пространства-времени. Прошу прощения за расплывчатость, но с этим я еще не сталкивался (кроме тензора поляризации-намагничивания).
Я просмотрел много литературы, но кажется, что эта тема достаточно сложна, чтобы обескуражить большинство теоретиков. Большинство соответствующих статей имеют очень ограниченную направленность, например, только нелинейную диэлектрическую проницаемость, или движущиеся среды, или резиновые магниты с внедренными в них магнитными наночастицами; а те, которые на первый взгляд кажутся наиболее важными, часто игнорируют такие детали, как релятивистская инвариантность.
Мне было бы интересно увидеть литературу по ковариантной нелинейной оптике, если вы ее найдете. Вы сами разрабатываете теоретическую трактовку или вам нужна проверенная публикация? Если это так, я думаю, вам следует начать работать с тензором поляризации-намагничивания, который легко вписывается в лагранжеву плотность. К сожалению, у меня нет эксперта, чтобы дать совет, на который я могу положиться.
Я думаю , что ковыряюсь в малоизученной территории. Буду рад поделиться всем, что я могу найти.
Я думаю, вы на самом деле спрашиваете о дисперсии, потому что тот факт, что зарядам в среде требуется время, чтобы отреагировать на падающие электромагнитные поля, на самом деле проявляется как дисперсия! Кроме того, среда разрушает релятивистскую ковариантность уравнений Максвелла в вакууме , и, таким образом, в средах отсутствует ковариантная формулировка уравнений Максвелла Лоренца.
@MaxLein неясно, требует ли дисперсия поляризации, чтобы реагировать с задержкой. Гипотетически, даже если она колеблется в фазе с электрическим полем, могла бы иметь место дисперсия, если бы (реальная) диэлектрическая проницаемость зависела от частоты.
Частотная зависимость ε и мю в точности эквивалентна определяющим соотношениям, представляющим собой интегралы свертки по времени. Просто выполните преобразование Фурье во времени: тогда прямые произведения в частотном пространстве станут свертками во временной области. (Точно так же нелокальность в реальном пространстве приводит к локальности в импульсном пространстве.)
@ S.McGrew Я думаю, что вы не можете (легко) это сделать. Если вы выведете энергию из уравнения Максвелла (теорема Пойнтинга), вы получите интеграл EdD+HdB в зависимости от полной истории конфигурации. Только для линейных сред это сводится к «нормальному» интегралу ED+HB. Поскольку лагранжиан в каком-то смысле является легендарным преобразованием энергии, вы сталкиваетесь с той же проблемой. Лично я думаю, что использование D и H, хотя это выглядит красиво, — это неправильный способ думать об этих проблемах для нелинейных сред, а использовать усреднение (от микроскопического до макро) для каждой отдельной конфигурации/настройки.

Существует ли форма уравнений Максвелла в нелинейных средах, учитывающая динамическую реакцию среды?

Да, есть, но, вероятно, он вас не удовлетворит. Общая форма такая же, как у обычных уравнений Максвелла для полей при известном распределении заряда и тока в вакууме. Единственное, что предполагается изменить в материальной среде, это то, что распределения р , Дж имеют еще один вклад, обусловленный материальной средой.

Такие уравнения Максвелла не являются полной системой дифференциальных уравнений, а скорее недоопределенной системой, поэтому необходимо ввести и использовать некоторые другие предположения, чтобы связать распределения заряда и тока с одной стороны и электромагнитных полей с другой стороны.

Эти предположения меняются в зависимости от физической ситуации, такой как статическая диэлектрическая поляризация ( п достаточно), статическая намагниченность ферромагнетика ( М и Дж ф р е е достаточно) или распространение высокочастотных диссипативных электромагнитных волн (лучше работать с какой-нибудь микроскопической моделью и р , Дж напрямую). Они также зависят от качества материальной среды, разновидностей которой великое множество. Не существует общей формулировки ЭМ теории материальной среды, которая давала бы замкнутую систему уравнений.

Вот что я подозревал. Существуют ли определенные концептуальные или математические трудности, которые помешали такой формулировке? Если да, то знаете ли вы какие-либо документы, в которых обсуждались трудности?
Заряд @S.McGrew и распределение тока в макроскопическом веществе зависят от того, что делает очень большое количество составляющих частиц. Чтобы получить формулировку того типа, который вы ищете, должно быть универсальное упрощение большого числа микроскопических переменных до нескольких макроскопических переменных. Никто не нашел универсального способа сделать это, есть только адаптированные к ситуации формулировки ограниченного действия, как описано в моем ответе. Имеются статьи и книги о выводах макроскопической ЭМ теории из микроскопических моделей, классических и квантово-теоретических.
Этим вопросом активно занимались нидерландские физики, см., например, С. Р. де Гроот, Дж. Влигер, Вывод уравнений Максвелла: статистическая теория макроскопических уравнений , Physica 31, 254-268 doi.org/10.1119/1.1976000
@JánLalinský Спасибо за ссылку. Общая процедура грубой детализации является неотъемлемой частью любого хорошего учебника (например, в главе 6.6 классической электродинамики Джексона).
Уравнения Максвелла, нелинейные среды и динамический отклик
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v