Уравнения Максвелла с использованием дифференциальных форм

Ваша проблема в том, что вы не учли относительность:

В пространстве Минковского связь между внешними производными и классическими векторными операторами отличается от связи в евклидовом трехмерном пространстве, и$E$а также$B$на самом деле оказываются компонентами одной 2-формы$F$(что необходимо для получения правильных законов трансформации под бустами).

Поскольку я ленив, я буду работать в обратном направлении.${\rm d}F$а также${\rm d}\star F$.

Во-первых, электромагнитный тензор можно разложить на

$$F = \sum_i E_i\,{\rm d}t\wedge{\rm d}x^i - \star\sum_i B_i\,{\rm d}t\wedge{\rm d}x^i$$ я предполагаю $(+---)$правило для метрики Минковского. Обратите внимание, что знак выше может быть неправильным — я знаю, что где- то ошибся (я начал с $+$в приведенной выше формуле и «исправил» ее после того, как получил неверный результат), поэтому было бы неплохо, если бы кто-то проверил эти расчеты и исправил мой ответ, если они неверны.

Внешняя производная на 2-формах может быть записана как

$$\begin{align*} {\rm d}\sum_i A_i\,{\rm d}t\wedge{\rm d}x^i &= \star\sum_i (\nabla\times A)_i\,{\rm d}x^i \\ {\rm d}\star\sum_i A_i\,{\rm d}t\wedge{\rm d}x^i &= -\star(\nabla\cdot A\,{\rm d}t + \sum_i \frac{\partial A_i}{\partial t}\,{\rm d}x^i) \end{align*}$$ и мы приходим к $$\begin{align*} {\rm d}F &= \star\sum_i (\nabla\times E)_i\,{\rm d}x^i + \star(\nabla\cdot B\,{\rm d}t + \sum_i \frac{\partial B_i}{\partial t}\,{\rm d}x^i) \\&= \star\sum_i ( \nabla\times E + \frac{\partial B}{\partial t} )_i\,{\rm d}x^i + \star\nabla\cdot B\,{\rm d}t \\ {\rm d}\star F &= {\rm d}\left( \star\sum_i E_i\,{\rm d}t\wedge{\rm d}x^i + \sum_i B_i\,{\rm d}t\wedge{\rm d}x^i \right) \\&= -\star(\nabla\cdot E\,{\rm d}t + \sum_i \frac{\partial E_i}{\partial t}\,{\rm d}x^i) + \star\sum_i (\nabla\times B)_i\,{\rm d}x^i \\&= \star\sum_i ( \nabla\times B - \frac{\partial E}{\partial t} )_i\,{\rm d}x^i - \star\nabla\cdot E\,{\rm d}t \end{align*}$$ из которого мы получаем левые части уравнений Максвелла, рассматривая компоненты пространства и времени по отдельности.

Уравнения Максвелла происходят из 1. уравнений движения электромагнитного действия 2. Второго тождества Бианки.

Точно, вы можете найти в другом месте, что

1) Решением лагранжиана Максвелла является

$$-\partial _\mu F^{\mu \nu} = J^{\nu} \quad (1)$$ Что подразумевает $$\mapsto \begin{cases} \nabla \times B - \frac{\partial{E}}{\partial{t}}=\vec j \\ \nabla \cdot E =q \end{cases}$$ 2) Второе тождество Бьянки $$\partial_{\alpha} F_{\beta \gamma} + \partial_{\beta} F_{\gamma \alpha} + \partial_{\gamma} F_{\alpha \beta} =0 .\quad (2)$$ подразумевает $$\mapsto \begin{cases} \nabla \cdot B = 0 \\ \nabla \times E + \frac{\partial{B}}{\partial{t}}=0 \end{cases}$$ Вы можете перевести (1) и (2) в дифференциальную форму. Но я попробую более формальный метод, начав с действия.

Действие ЭМ

$${\mathcal{L}}_{\mathtt{Maxwell}} \equiv -(1/4)F_{\mu \nu}F^{\mu \nu} +A_{\mu} J^{\mu}.\quad\quad (3)$$ перевести в дифференциальную форму чтения $$S_{\mathrm{Maxw}}=\int_{\mathcal{M}}\left(- \frac{1}{2} F \wedge \star F -A \wedge \star J\right),\quad \quad (4)$$ Так $$\begin{split} \delta_{A} S_{\mathrm{Maxw}}=\int_{\mathcal{M}}\left(- \mathrm{d}(\delta A) \wedge \star F -\delta A \wedge \star J\right),\\ 0=\int_{\mathcal{M}}\left(- (\delta A) \wedge \star\bar {\mathrm{d}} F -\delta A \wedge \star J\right),\\ \Longrightarrow -\bar {\mathrm{d}}F =J. \\ \boxed{ -\star \mathrm{d} \star F = J }\\ - \mathrm{d} \star F = \star J \Longrightarrow -\partial_{\mu} F^{\mu \nu} = J^{\nu}\end{split}$$

куда$\bar {\mathrm{d}}$является кодифференциацией в этом случае$\bar{\mathrm{d}}= \star \mathrm{d} \star$

Далее тензор Фарадея в дифференциальной форме читается

$$F=\mathrm d A$$ Итак, очевидно $$\mathrm d F =\mathrm d ^2 A =0.$$ Это также второе тождество Бьянки, и, очевидно, его расширение в форме локальных координат дает нам уравнение (2) и, следовательно, еще одно уравнение Максмелла.

В заключение уравнение Максвелла в форме дифференциальной формы читается

$$\boxed{ - \mathrm{d} \star F = \star J,\quad\quad \mathrm{d}F=0 }$$

Примечание : полезно для проверки ваших расчетов.

$$F^{\alpha \beta} = \left( \begin{matrix} {0} & { E_x} & {E_y} &{ E_z} \\ {-E_x} & {0} &{ B_z} &{ -B_y} \\ {-E_y} & {-B_z} &{ 0} &{ B_x} \\ {-E_z} & {B_y }& {-B_x }& {0} \end{matrix} \right)$$

$$F=\frac 1 2 F_{\mu\nu}dx^\mu \wedge dx^\nu$$ $$A^\mu=(q,\vec j)$$ $$F \wedge \star F =\frac{1}{2}F_{\mu \nu} F^{\mu \nu} {\mathrm{d}}^{4}x (=-(E^2 -B^2)).$$ $$A \wedge \star J =-A_{\mu}J^{\mu}{\mathrm{d}}^{4}x,$$ $$\begin{split} \mathrm{d} \left( \alpha \wedge \star \beta \right) =: \mathrm{d}\alpha \wedge \star \beta - \alpha \wedge \star \bar{\mathrm{d}} \beta \\ \bar{\mathrm{d}} = -(-1)^{np-n+s}\star \mathrm{d} \star \\ (-1)^{s} = \begin{cases} -1 &\text{if Lorentzian } \\ 1 &\text{if Euclidean} \end{cases} \\ \text{ $\beta$ is a p-form}\\ sgn = \text{sign (of $(-1)^N$)} \\ n = N+P\\ \text{Signature} = P-N \\ \text{indeed} &(-1)^{s} := (-1)^{N} = sgn(g)&\\ \end{split}$$ Чтобы проверить свои базовые навыки по внешней алгебре , вы должны понимать, что $$J=J_\mu dx^\mu \longrightarrow \star J = \frac{1}{3!}(\frac 1 1 \epsilon_{\mu\nu\alpha\beta}J^\mu)dx^\nu \wedge dx^\alpha \wedge dx^\beta$$

Определить 4-потенциал$A_\mu$. Затем вы можете сформировать 1-форму$A = A_\mu dx^\mu$. Тогда напряженность поля$F = dA = \frac{1}{2} F_{\mu\nu} dx^\mu \wedge dx^\nu$. Так что на самом деле,$E$а также$B$являются компонентами 2-тензора.

Обратите внимание, что это подразумевает$dF = d^2A = 0$, которые дают такие вещи, как$\nabla \cdot B = 0$.

Есть ответ на ваш вопрос, который кажется упущенным и достойным упоминания: ваша интуиция абсолютно ПРАВИЛЬНА.

Напряженность электрического поля E представляет собой 1-форму, а плотность магнитного потока B - 2-форму, что дает вам

$\nabla\times E=-\dfrac{\partial B}{\partial t}$а также$\nabla \cdot B=0$

Поля возбуждения, поле смещения D и напряженность магнитного поля H составляют 2-форму и 1-форму соответственно, представляя остальные уравнения Максвелла:

$\nabla\times H=j+\dfrac{\partial D}{\partial t}$а также$\nabla \cdot D=0$

Четыре описания полей D, H, E, B геометрически различны, причем D и E являются двойственными по Ходжем друг другу (то же самое для H и B).

Хотя ваш вопрос, кажется, требует нерелятивистского ответа, я рекомендую в какой-то момент понять поля в пространстве-времени, как это превосходно описано Кристофом и др. так как очень приятно видеть, как все это складывается вместе. Во всяком случае, отвечая на не относящийся к делу вопрос для кого-то ранее, я наткнулся на эту ссылку, и я думаю, что вы можете найти ее полезной: https://em.groups.et.byu.net/pdfs/ftext.pdf [Ссылка: Электромагнетизм: Ричард Х. Селфридж, Дэвид В. Арнольд и Карл Ф. Варник, 3 января 2002 г.]

Поскольку я ненавижу (признаюсь, по причинам, которые не могу назвать объективными)$\star$символа, я предлагаю ниже восстановить уравнения Максвелла из определения 2-формы

$$F=E_{i}dx^{i}\wedge dt+B_{\left\vert i\right\vert }dx^{\left\vert i+1\right\vert }\wedge dx^{\left\vert i+2\right\vert }$$ где я ввожу обозначение модуля $\left\vert i\right\vert$такой, что $\left\vert i+3\right\vert =\left\vert i\right\vert =i$. Греческие индексы пространственно-временные, латинские распространяются только на пространственные индексы. Я не буду делать ничего, кроме Кристофа в его ответе , за исключением, пожалуй, определения тока, см. ниже.

Тогда есть

$$\text{d}F=-\dfrac{\partial E_{i}}{\partial x^{j}}dx^{i}\wedge dx^{j}\wedge dt+\dfrac{\partial B_{\left\vert i\right\vert }}{\partial x^{\left\vert i\right\vert }}dx^{\left\vert i\right\vert }\wedge dx^{\left\vert i+1\right\vert }\wedge dx^{\left\vert i+2\right\vert }+\dfrac{\partial B_{\left\vert i\right\vert }}{\partial t}dx^{\left\vert i+1\right\vert }\wedge dx^{\left\vert i+2\right\vert }\wedge dt$$

и поэтому

$$\text{d}F = \left(\dfrac{\partial E_{y}}{\partial x}-\dfrac{\partial E_{x}}{\partial y}+\dfrac{\partial B_{z}}{\partial t}\right)dx\wedge dy\wedge dt+\left(\dfrac{\partial E_{z}}{\partial y}-\dfrac{\partial E_{y}}{\partial z}+\dfrac{\partial B_{x}}{\partial t}\right)dy\wedge dz\wedge dt + \left(\dfrac{\partial E_{x}}{\partial z}-\dfrac{\partial E_{z}}{\partial x}+\dfrac{\partial B_{y}}{\partial t}\right)dz\wedge dx\wedge dt+\mathbf{\nabla\cdot B}\text{vol}^{3}$$

с очевидным изменением обозначений и$\text{vol}^{3}=dx^{\left\vert i\right\vert }\wedge dx^{\left\vert i+1\right\vert }\wedge dx^{\left\vert i+2\right\vert }=dx\wedge dy\wedge dz$для тома 3-форма.

Затем, наложив$dF=0$приводит к двум уравнениям Максвелла

$$\mathbf{\nabla\cdot B}=0\text{ and }\mathbf{0}=\mathbf{\nabla\times E}+\dfrac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}$$ которое, таким образом, можно рассматривать как единое уравнение неразрывности для $F$2-форма.

Поскольку мы накладываем$dF=0$, есть локально$F=dA$, с 1-формой$A=A_{\alpha}dx^{\alpha}$проверка

$$\mathbf{E}=\mathbf{\nabla}\varphi-\dfrac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}\text{ and }\mathbf{B}=\mathbf{\nabla\times A}$$

путем прямой идентификации$dx^{i}\wedge dt$и$dx^{\left\vert i\right\vert }\wedge dx^{\left\vert i+1\right\vert }$в обоих$F$а также$dA$. Теперь можно добавить любую точную форму к$A\rightarrow A +d\chi$($\chi$является 0-формой по построению) без изменения$F=dA\rightarrow d\left(A+d\chi\right) =dA$

Тогда, конечно, ни$E$ни$B$это форма, но$F$является 2-формой.

Можно также сформировать 3-форму

$$j=J_{\left\vert i\right\vert }dx^{\left\vert i+1\right\vert }\wedge dx^{\left\vert i+2\right\vert }\wedge dt-\rho\text{vol}^{3}$$

который сохраняется$dj=0$и, таким образом, локально$j=dG$, с$G$2-форма по построению. Мы признаем$j$как обычный зарядный ток, и мы хотим построить$G$. Давайте определим

$$\gamma=\gamma_{\left\vert i\right\vert }dx^{\left\vert i+1\right\vert }\wedge dx^{\left\vert i+2\right\vert }+\gamma_{i}^{0}dx^{i}\wedge dt$$

как наиболее общая 2-форма в пространстве-времени. Странное разделение пространства/времени необходимо, так как нужен только один индекс для$\gamma$. В противном случае мы могли бы просто написать$\gamma_{\mu \nu}dx^{\mu}\wedge dx^{\nu}$. Обратите внимание, что это было то же самое для$F$. Затем мы вычисляем

$$d\gamma=\dfrac{\partial\gamma_{\left\vert i\right\vert }}{\partial x^{\left\vert i\right\vert }}dx^{\left\vert i\right\vert }\wedge dx^{\left\vert i+1\right\vert }\wedge dx^{\left\vert i+2\right\vert }+\dfrac{\partial\gamma_{\left\vert i\right\vert }}{\partial t}dt\wedge dx^{\left\vert i+1\right\vert }\wedge dx^{\left\vert i+2\right\vert }+\dfrac{\partial\gamma_{i}^{0}}{\partial x^{j}}dx^{j}\wedge dx^{i}\wedge dt$$

или, разделив пространство и время еще раз,

$$\mathbf{J}=\dfrac{\partial\mathbf{\gamma}}{\partial t}+\mathbf{\nabla\times\gamma}^{0}\text{ and }-\rho=\mathbf{\nabla\cdot\gamma}$$

где мы признаем вторую систему уравнений Максвелла, если мы определяем

$$\mathbf{\gamma}=-\mathbf{D}\text{ and }\mathbf{\gamma}^{0}=\mathbf{H}$$

и -- еще раз -- ни$H$ни$D$это форма, но$\gamma$является правильной 2-формой, назовите ее

$$-G=D_{\left\vert i\right\vert }dx^{\left\vert i+1\right\vert }\wedge dx^{\left\vert i+2\right\vert }+H_{i}dt\wedge dx^{i}$$ если хочешь. Самое смешное, что конечно любая замена $G\rightarrow G+d\phi$( $\phi$является 2-формой) не будет переопределять заряд $j=dG\rightarrow d\left(G+d\phi\right)=dG$.