Распространение уравнений Максвелла с плоского пространства-времени на искривленное пространство-время

Question

Распространение уравнений Максвелла с плоского пространства-времени на искривленное пространство-время

JG123

Предположим, мы работаем с пространством-временем Минковского (то есть плоским).

Позволять $A^{\mu} = ( \phi/c, \textbf{A})$ – контравариантный потенциальный четырехвектор. Тогда, предполагая ковариантную метрику Минковского $\eta_{\mu \nu} = \textrm{diag}[+, -, -, -]$ , у нас есть это $A_{\mu} = ( \phi/c, -\textbf{A})$ — ковариантный потенциал-четыре вектора.

У нас также есть это $\alpha = A_{\mu} dx^{\mu}$ является потенциальной одной формой.

Затем мы определяем $F = d\alpha = \frac{1}{2} (\partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu) dx^\mu \wedge dx^\nu$ быть электромагнитной двумерной формой.

Теперь позвольте $J^{\mu} = (c\rho, \textbf{J})$ — контравариантный текущий четырехвектор.

Затем, $J = \frac{1}{6} J^\mu \epsilon_{\mu \alpha \beta \gamma}dx^\alpha \wedge dx^\beta \wedge dx^\gamma$ является текущей трехформой.

С этими определениями уравнения Максвелла становятся

д Ф "=" 0 (я)

$\begin{equation} dF = 0 \; \; \; (\textrm{i}) \end{equation}$

д (* Ф) "=" Дж (II)

$\begin{equation} d(*F) = J \; \; \; (\textrm{ii}) \end{equation}$

(Напомним, что $*$ является оператором звезды Ходжа).

Теперь, чтобы распространить эти уравнения Максвелла на искривленное пространство-время , кажется, что мы должны изменить текущую трехмерную форму:

Дж "=" \frac{1}{6} \sqrt{| г |} {Дж}^{мю} ϵ_{мю α β γ} д {Икс}^{α} \land д {Икс}^{β} \land д {Икс}^{γ} (III)

$\begin{equation} J = \frac{1}{6} \sqrt{|g|} J^\mu \epsilon_{\mu \alpha \beta \gamma}dx^\alpha \wedge dx^\beta \wedge dx^\gamma \; \; \; (\textrm{iii}) \end{equation}$

Здесь, $\sqrt{|g|}$ — квадратный корень из модуля определителя ковариантной метрики на римановом многообразии, с которым мы работаем.

С этим новым определением $J$ , уравнения Максвелла — это просто уравнения (i) и (ii).

Мой вопрос заключается в следующем. Почему простое изменение текущей трехмерной формы для включения «естественной» псевдоримановой формы объема $\sqrt{|g|} dx^\alpha \wedge dx^\beta \wedge dx^\gamma$ позволяют нам использовать формулировку уравнений Максвелла в плоском пространстве-времени в искривленном пространстве-времени?

Г. Смит

Ваше выражение в искривленном пространстве-времени для

J

$J$ не сводится к вашему выражению плоского пространства-времени. Он даже не имеет таких размеров. Значит что-то не так.

JG123

@ Г. Смит Это

\frac{4 π}{c}

$\frac{4\pi}{c}$ это вызывает проблемы?

Г. Смит

Да, это мешает им быть равными в пределе плоского пространства-времени и придает им разные измерения.

Г. Смит

Вопрос здесь действительно об обобщении тензора Леви-Чивиты на искривленное пространство-время, а не о плотности тока. См. Википедию .

Г. Смит

При обобщении на искривленное пространство-время вы берете простейшее общековариантное уравнение, которое в плоском пространстве-времени сводится к известному уравнению плоского пространства-времени.

Г. Смит

Вполне возможно, что могут быть дополнительные члены, включающие тензоры кривизны, но самый простой рецепт состоит в том, чтобы просто сделать вещи общековариантными на многообразии без добавления членов кривизны. Например, в обозначении индекса вы просто заменяете производные ковариантными производными. В обозначении формы вы используете форму естественного объема и используете внешнюю производную или что-то еще.

d

$d$ называется. (Извините, я изучил этот материал давным-давно, используя индексную запись, а не дифференциальные формы.)

JG123

@ Г. Смит Я вижу логику в том, чтобы «взять простейшее общековариантное уравнение, которое сводится в плоском пространстве-времени к известному уравнению плоского пространства-времени». Конечно, сформулированная выше формулировка искривленного пространства-времени удовлетворяет этому критерию (как

\sqrt{| g |} = 1

$\sqrt{|g|} = 1$ для пространства Минковского). Я думаю, что мой следующий вопрос заключается в следующем. Откуда мы знаем, что эта формулировка пространства-времени верна?

Г. Смит

Я не уверен, сколько экспериментальных доказательств того, что этот рецепт верен, у нас есть, если таковые имеются. Дополнительные члены с кривизной были бы значимы только вблизи черных дыр, нейтронных звезд и т. д. Насколько я знаю, теории поля в искривленном пространстве-времени представляют больше теоретический интерес, чем экспериментальная реальность. Бритва Оккама — лучшее оправдание минималистского рецепта.

Умаксо

@ G.Smith, не означают ли дополнительные термины, что свет может рассеиваться из-за кривизны? А поскольку мы можем наблюдать за светом на расстоянии 13 миллиардов световых лет, это, я думаю, должно дать хорошую верхнюю границу связи между электромагнитными и гравитационными полями.

Г. Смит

@Umaxo Хороший вопрос. То, что вы предлагаете, кажется правдоподобным, но я не уверен.

Ответы (2)

Распространение уравнений Максвелла с плоского пространства-времени на искривленное пространство-время

Ваше выражение в искривленном пространстве-времени для $J$ не сводится к вашему выражению плоского пространства-времени. Он даже не имеет таких размеров. Значит что-то не так.
@ Г. Смит Это $\frac{4\pi}{c}$ это вызывает проблемы?
Да, это мешает им быть равными в пределе плоского пространства-времени и придает им разные измерения.
Вопрос здесь действительно об обобщении тензора Леви-Чивиты на искривленное пространство-время, а не о плотности тока. См. Википедию .
При обобщении на искривленное пространство-время вы берете простейшее общековариантное уравнение, которое в плоском пространстве-времени сводится к известному уравнению плоского пространства-времени.
Вполне возможно, что могут быть дополнительные члены, включающие тензоры кривизны, но самый простой рецепт состоит в том, чтобы просто сделать вещи общековариантными на многообразии без добавления членов кривизны. Например, в обозначении индекса вы просто заменяете производные ковариантными производными. В обозначении формы вы используете форму естественного объема и используете внешнюю производную или что-то еще. $d$ называется. (Извините, я изучил этот материал давным-давно, используя индексную запись, а не дифференциальные формы.)
@ Г. Смит Я вижу логику в том, чтобы «взять простейшее общековариантное уравнение, которое сводится в плоском пространстве-времени к известному уравнению плоского пространства-времени». Конечно, сформулированная выше формулировка искривленного пространства-времени удовлетворяет этому критерию (как $\sqrt{|g|} = 1$ для пространства Минковского). Я думаю, что мой следующий вопрос заключается в следующем. Откуда мы знаем, что эта формулировка пространства-времени верна?
Я не уверен, сколько экспериментальных доказательств того, что этот рецепт верен, у нас есть, если таковые имеются. Дополнительные члены с кривизной были бы значимы только вблизи черных дыр, нейтронных звезд и т. д. Насколько я знаю, теории поля в искривленном пространстве-времени представляют больше теоретический интерес, чем экспериментальная реальность. Бритва Оккама — лучшее оправдание минималистского рецепта.
@ G.Smith, не означают ли дополнительные термины, что свет может рассеиваться из-за кривизны? А поскольку мы можем наблюдать за светом на расстоянии 13 миллиардов световых лет, это, я думаю, должно дать хорошую верхнюю границу связи между электромагнитными и гравитационными полями.
@Umaxo Хороший вопрос. То, что вы предлагаете, кажется правдоподобным, но я не уверен.

Пустота · Answer 1

Идея обобщения законов на искривленное пространство-время состоит в том, чтобы заметить, что на самом деле мы сами живем в искривленном пространстве-времени. То, что мы знаем как «уравнения плоского пространства-времени», на самом деле является уравнениями в искривленном пространстве-времени, полученными/открытыми в нашей локальной (почти) инерциальной системе отсчета. Затем мы можем вывести их криволинейную форму, просто преобразовав их в общую систему отсчета. В основном это делается путем замены любого использования метрической структуры Минковского общей псевдоримановой.

В частности, в случае уравнений Максвелла форма дифференциальной геометрии уже почти ковариантна. Но обратите внимание, что вы используете метрическую структуру в двух точках, и обе они могут быть охарактеризованы как использующие двойную структуру Ходжа . Я использую определение двойственности по Ходжу, которое ведет меня от $\Lambda^{k} T^*\! \mathcal{M}$ к $\Lambda^{(n-k)}T^{*}\!\mathcal{M}$ , где $n$ размер коллектора $\mathcal{M}$ (это отличается от определения, используемого на странице википедии). Наиболее практичный способ определить эту двойственность по Ходжу для любой формы. $\alpha \in \Lambda^{k} T^*\! \mathcal{M}$ заключается в том, чтобы требовать, чтобы

(* α) \land β "=" β (α^{# к}) ю, \forall β е Λ^{к} Т^{*} М,

$(*\alpha) \wedge \beta = \beta(\alpha^{\#k}) \omega, \forall \beta \in \Lambda^{k} T^*\! \mathcal{M},$ где

α^{# k} \in T^{k} M

$\alpha^{\#k}\in T^k\! \mathcal{M}$ получается поднятием всех индексов

α

$\alpha$ , и

ω

$\omega$ является псевдоримановой формой объема

ω = \sqrt{| g |} d x^{1} \land . . . \land d x^{n}

$\omega = \sqrt{|g|} \mathrm{d}x^1\wedge...\wedge \mathrm{d}x^n$ (Обратите внимание, что

\sqrt{| η |} = 1

$\sqrt{|\eta|} = 1$ в декартовых координатах/координатах Минковского, и мы специализируемся на

n = 4

$n=4$ ). Теперь вы можете видеть, что двойственность Ходжа может быть получена путем сжатия формы объема

ω

$\omega$ с

α^{# k}

$\alpha^{\#k}$ .

Вернемся к уравнениям Максвелла. То, что вы называете текущей 3-формой, на самом деле является двойственной по Ходжу текущей 1-формы. $j = j_\mu \mathrm{d}x^\mu, J = *j$ . В своем утверждении вы используете порождение двойственности путем заключения контракта с формой объема, которая обычно формулируется как

Дж \equiv * Дж "=" ю ({Дж}^{#}, \cdot, \cdot, \cdot) "=" я_{{Дж}^{#}} ю "=" \frac{1}{3!} {Дж}_{мю} г^{мю ν} \sqrt{| г |} ϵ_{ν λ κ γ} д {Икс}^{λ} \land д {Икс}^{κ} \land д {Икс}^{γ}

$J \equiv *j = \omega (j^{\#},\cdot,\cdot,\cdot) = \iota_{j^{\#}}\omega = \frac{1}{3!} j_\mu g^{\mu\nu} \sqrt{|g|}\epsilon_{\nu\lambda\kappa\gamma} \mathrm{d}x^\lambda\wedge\mathrm{d}x^\kappa\wedge\mathrm{d}x^\gamma$ Здесь вы можете определить

j^{#} \equiv j_{μ} g^{μ ν} \partial_{ν} = J^{ν} \partial_{ν}

$j^\# \equiv j_\mu g^{\mu\nu} \partial_\nu = J^\nu \partial_\nu$ как ваш текущий вектор (но имейте в виду, что на метрических многообразиях объекты с повышенными и пониженными индексами считаются идентичными объектами, выраженными по-разному).

Таким образом, ковариантная формулировка уравнений Максвелла такова:

д Ф "=" 0,

$\mathrm{d}F = 0\,,$

д (* Ф) "=" * Дж,

$\mathrm{d}(*F) = *j\,,$ где вы должны помнить, что двойственный Ходж теперь генерируется общей метрикой

g

$g$ . Последняя строка на самом деле очень часто пишется как

* [d (* F)] = j

$*[\mathrm{d}(*F)] = j$ (что эквивалентно приведенному выше, поскольку звезда Ходжа является двойственной ) .

Обратите внимание, что это трактует звезду Ходжа как карту из $\bigwedge^k TM \to \bigwedge^{n−k} T^*M$ вместо $\bigwedge^k T^*M \to \bigwedge^{n−k} T^*M$ . Я также считаю, что фактор $\frac1{3!}$ не нужно. При последнем соглашении и предположении, что я прав насчет факториала, у нас было бы $J = \star(j^\flat)=\star(\iota_j\,g) = \iota_j\,\omega$ .
Верно, спасибо. Не было бы смысла писать $d(*F)$ так. И различные факторы $1/n!,...$ появляются только для компонентов координат, правда (абстрактные индексы - мой обычный выбор яда).
@ Void Возможно, вы могли бы уточнить операции, происходящие в выражении: " $\beta (\alpha^{k}) \omega$ "
@ JG123 Это сокращение ( $\beta$ является k-формой и $\alpha^{\#k}$ является k-вектором).
@ Void Почему внутренняя производная от $\omega$ , $\iota_{j ^{\#}} \omega$ , равный двойственной по Ходжу текущей 1-форме?
@ JG123 Еще раз, это вопрос обозначений, $\iota_{j^{\#}} \omega$ является сокращением $j^{\#}$ в $\omega$ . Я чувствую, что как только вы выйдете за рамки элементарных вычислений, формализм абстрактного индекса станет более прозрачным, но в вашем исходном сообщении использовалась нотация «без индекса»...
@ Void Спасибо за помощь! Представленная здесь математическая перспектива немного помогла мне.

Кристоф · Answer 2

Кристоф

Само по себе это не имеет ничего общего с относительностью или кривизной: фактор $\sqrt{|g|}$ появляется по той же причине, по которой определитель якобиана появляется в формуле подстановки для интегрирования нескольких переменных : при интегрировании вам необходимо учитывать объем элементарной ячейки, охватываемый вашей системой координат. Поэтому, если вы используете общие криволинейные координаты вместо псевдоевклидовых, вам нужно добавить их и в выражение для пространства-времени Минковского.

JG123

@ Кристоф Так

\sqrt{| g |}

$\sqrt{|g|}$ термин просто учитывает изменение координат?

Кристоф

Да. По сути, при интегрировании вам необходимо учитывать объем элементарной ячейки, охватываемой вашей системой координат. Это немного сбивает с толку, потому что есть разные способы разрезать этот конкретный круг определения измеримых величин — например, рассмотреть скаляр

ρ

$\rho$ против скалярной плотности

r = ρ \sqrt{| g |}

$\mathfrak{r}=\rho\sqrt{|g|}$ против объемной формы

ω = ρ \sqrt{| g |} d x^{1} \land \dots \land d x^{n}

$\omega = \rho\sqrt{|g|} dx^1\wedge\dots\wedge dx^n$ против элемента объема/псевдоформы

| ω | = ρ \sqrt{| g |} d^{n} x

$|\omega| = \rho\sqrt{|g|}d^nx$

Распространение уравнений Максвелла с плоского пространства-времени на искривленное пространство-время

JG123

Г. Смит

JG123

Г. Смит

Г. Смит

Г. Смит

Г. Смит

JG123

Г. Смит

Умаксо

Г. Смит

Ответы (2)

Пустота

Кристоф

Пустота

JG123

Пустота

JG123

JG123

Пустота

JG123

Кристоф

JG123

Кристоф

Тензорная формулировка уравнений Максвелла

E&M и геометрия - историческая перспектива

Доказательство существования 4-потенциала из уравнения поля Гаусса-Фарадея

Простой вывод уравнений Максвелла из электромагнитного тензора

Почему уравнения Максвелла содержат скалярное, векторное, псевдовекторное и псевдоскалярное уравнение?

Уравнения Максвелла с использованием дифференциальных форм

Однородные уравнения Максвелла на языке дифференциальных форм

Имеют ли интегральные формы уравнений Максвелла ограниченную применимость из-за запаздывания?

Путаница по поводу математической природы электромагнитного тензора и полей E, B

контравариантные компоненты тензора электромагнитного поля при преобразовании Лоренца